24. Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, 28° и 90°. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений? 1) 2) 3)

Да. Используем свойства смежных углов: их сумма равна 180°, а вертикальные углы равны.

1) Прямые AOC и BOD пересекаются; отмеченный угол BOC равен 28°, а угол AOD — 90°.

• ∠AOB и ∠BOC смежные: ∠AOB = 180° − 28° = 152°.
• ∠COD и ∠AOD смежные: ∠COD = 180° − 90° = 90°.
• ∠AOB и ∠COD — вертикальные, поэтому оба равны соответственно 152° и 90°.

Итак, вокруг точки O последовательно получаются углы: ∠AOB = 152°, ∠BOC = 28°, ∠COD = 90°, ∠DOA = 90°.

2) AB и OD лежат на одной прямой, а OB перпендикулярна этой прямой. ∠COD = 28°.

• ∠BOC и ∠COD составляют прямой угол: ∠BOC = 90° − 28° = 62°.
• ∠AOM и ∠COD — вертикальные: ∠AOM = 28°.
• ∠MOA и ∠AOB вместе составляют 180°, а ∠AOB = 90°, поэтому ∠MOA = 90°; следовательно, ∠AOB = 90°.
• ∠BOD = 90°, так как OB перпендикулярна AD.
• ∠MOD смежен с ∠AOM: ∠MOD = 180° − 28° = 152°.

Итак: ∠AOB = 90°, ∠BOC = 62°, ∠COD = 28°, ∠DOM = 152°, ∠MOA = 28°.

3) Вертикальная прямая KABD перпендикулярна горизонтальной прямой SBCT. Диагональ EACF образует с горизонталью угол 28°.

• В точке C вертикальные углы равны: угол между CA и CB равен 28°, а смежный с ним угол между CA и CT равен 180° − 28° = 152°. Противоположные им углы также равны 28° и 152°.
• В точке A угол между AK и AE равен 90° − 28° = 62°. Смежный угол между AK и AC равен 180° − 62° = 118°; вертикальные углы равны соответственно 62° и 118°.
• В точке B все четыре угла прямые: по 90°.

Ответ: во всех трёх рисунках остальные углы находятся по свойствам смежных и вертикальных углов и по условию перпендикулярности.