24. Открытая пробирка вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 15 с⁻¹ вокруг вертикальной оси, проходящей через край пробирки. В пробирке находится столбик ртути, отделяющий воздух у дна пробирки от атмосферы. Длина столбика ртути равна h = 0,8 см, а его центр отстоит от оси вращения на расстоянии r = 10 см (см. рисунок). До какой температуры T₂ надо нагреть пробирку, чтобы при увеличении угловой скорости в 2 раза столбик ртути не сместился? Атмосферные условия считать нормальными.

Решение:

Задача сводится к уравниванию центробежной силы, действующей на столбик ртути, с силой атмосферного давления, приложенной к нижнему основанию столбика.

Начальное состояние (температура T₁):

Угловая скорость \( \omega_1 = 15 \text{ с}^{-1} \).

Центробежная сила, действующая на столбик ртути:

\[ F_{ц1} = m \omega_1^2 r \]

где \( m \) — масса столбика ртути.

Сила атмосферного давления (нормальная):

\[ P_{атм} = \rho_{ртути} g h \]

где \( \rho_{ртути} \) — плотность ртути, \( g \) — ускорение свободного падения, \( h \) — длина столбика ртути.

Масса столбика ртути: \( m = \rho_{ртути} S h \), где \( S \) — площадь поперечного сечения пробирки.

Подставляем массу в формулу центробежной силы:

\[ F_{ц1} = (\rho_{ртути} S h) \omega_1^2 r \]

Чтобы столбик ртути не сместился, центробежная сила должна быть уравновешена силой атмосферного давления. Однако, в задаче сказано, что столбик ртути отделяет воздух от атмосферы, что подразумевает, что разница давлений внутри и снаружи пробирки вызывает смещение. При нормальных атмосферных условиях и начальной угловой скорости, будем считать, что столбик ртути находится в равновесии.

Измененное состояние (увеличенная угловая скорость):

Новая угловая скорость \( \omega_2 = 2 \omega_1 \).

Центробежная сила во втором состоянии:

\[ F_{ц2} = m \omega_2^2 r = m (2 \omega_1)^2 r = 4 m \omega_1^2 r = 4 F_{ц1} \]

При увеличении угловой скорости в 2 раза, центробежная сила увеличится в 4 раза.

Чтобы столбик ртути не сместился, сила, действующая на него, должна измениться так, чтобы компенсировать возросшую центробежную силу. В данной задаче, единственным параметром, который может быть изменен температурой, является плотность ртути.

Условие несмещения столбика ртути означает, что градиент давления, вызванный центробежной силой, должен быть скомпенсирован градиентом давления, вызванным атмосферным давлением. Формально, если столбик не смещается, то давление на дне столбика от ртути плюс давление воздуха внутри пробирки должно равняться давлению снаружи.

При нормальных атмосферных условиях, длина столбика ртути \( h \) является результатом равновесия.

Когда \( \omega \) увеличивается, столбик ртути стремится сместиться. Чтобы предотвратить смещение, необходимо, чтобы сила, противодействующая центробежной силе, увеличилась. Это может произойти за счет уменьшения плотности ртути (при нагреве).

Давление, создаваемое столбиком ртути, пропорционально его плотности и высоте: \( P_{ртути} = \rho_{ртути} g h \).

Давление, создаваемое центробежной силой, распределенное по длине пробирки, пропорционально \( \omega^2 r \).

Если \( \omega \) увеличивается в 2 раза, то \( \omega^2 \) увеличивается в 4 раза. Центробежная сила \( F_{ц} = m \omega^2 r \).

Масса \( m = \rho_{ртути} S h \).

\( F_{ц} \) будет в 4 раза больше. Чтобы столбик не сместился, давление, создаваемое столбиком ртути, должно увеличиться.

\( P_{днa} = P_{верх} + \rho_{ртути} g h \).

При вращении, появляется дополнительное давление из-за центробежной силы.

Давление на дно столбика ртути, учитывая центробежную силу:

\[ P_{днa} = P_{атм} + \rho_{ртути} \omega^2 r h \]

Если \( P_{атм} \) — это давление воздуха у дна пробирки.

При начальных условиях, \( P_{воздуха, дно} = P_{атм, снаружи} \).

После увеличения \( \omega \) в 2 раза, \( \omega_2 = 2\omega_1 \).

Новое давление на дно:

\[ P'_{днa} = P_{атм} + \rho'_{ртути} \omega_2^2 r h \]

Чтобы столбик не сместился, \( P'_{днa} \) должно компенсировать возросшее центробежное действие.

Условие несмещения столбика ртути при увеличении \( \omega \) в 2 раза означает, что новое атмосферное давление (если бы оно изменилось) или изменившаяся плотность ртути компенсировали бы возросшую центробежную силу.

Из условия задачи: «столбик ртути не сместился». Это означает, что изменение температуры не вызвало смещение столбика. Если при увеличении \( \omega \) в 2 раза, столбик не смещается, то это значит, что центробежная сила уравновешивается силой, зависящей от плотности ртути. При нагреве плотность ртути уменьшается.

Пусть \( \rho_1 \) — начальная плотность ртути, \( \rho_2 \) — плотность ртути при температуре \( T_2 \).

При \( \omega_1 \), условие равновесия:

\[ \rho_1 \omega_1^2 r h = P_{атм} \]

При \( \omega_2 = 2\omega_1 \), для несмещения столбика, должно выполняться:

\[ \rho_2 \omega_2^2 r h = P_{атм} \]

Подставляем \( \omega_2 = 2\omega_1 \):

\[ \rho_2 (2\omega_1)^2 r h = P_{атм} \] \[ 4 \rho_2 \omega_1^2 r h = P_{атм} \]

Сравниваем два уравнения:

\[ \rho_1 \omega_1^2 r h = 4 \rho_2 \omega_1^2 r h \]

Сокращаем \( \omega_1^2 r h \):

\[ \rho_1 = 4 \rho_2 \]

Следовательно, \( \rho_2 = \frac{1}{4} \rho_1 \).

Плотность ртути зависит от температуры по закону:

\[ \rho(T) = \rho_0 (1 - \beta (T - T_0)) \]

где \( \rho_0 \) — плотность при температуре \( T_0 \), \( \beta \) — коэффициент теплового расширения ртути.

Для ртути \( \beta \approx 1.8 \times 10^{-4} \text{ K}^{-1} \).

Предположим, что начальная температура \( T_1 \) соответствует нормальным атмосферным условиям (например, \( T_1 = 20^\text{o}C \)). Тогда \( \rho_1 \) — плотность ртути при \( 20^\text{o}C \). \( \rho_1 \approx 13546 \text{ кг/м}^3 \).

Мы хотим найти \( T_2 \), при которой \( \rho_2 = \frac{1}{4} \rho_1 \).

\[ \rho_2 = \frac{1}{4} \times 13546 \text{ кг/м}^3 \text{ (при } 20^\text{o}C) = 3386.5 \text{ кг/м}^3 \]

Используем формулу плотности:

\[ \rho_2 = \rho_1 (1 - \beta (T_2 - T_1)) \]

\( 3386.5 = 13546 (1 - 1.8 \times 10^{-4} (T_2 - 20)) \)

\( \frac{3386.5}{13546} = 1 - 1.8 \times 10^{-4} (T_2 - 20) \)

\( 0.25 = 1 - 1.8 \times 10^{-4} (T_2 - 20) \)

\( 1.8 \times 10^{-4} (T_2 - 20) = 1 - 0.25 = 0.75 \)

\( T_2 - 20 = \frac{0.75}{1.8 \times 10^{-4}} \) \( \approx 4166.7 \)

\( T_2 \approx 20 + 4166.7 = 4186.7^\text{o}C \)

Такая высокая температура, вероятно, нереалистична для обычных условий. Возможно, условие «столбик ртути не сместился» означает, что давление столбика ртути остается постоянным, но это противоречит увеличению центробежной силы.

Переосмыслим условие: «чтобы при увеличении угловой скорости в 2 раза столбик ртути не сместился». Это означает, что изменение температуры должно компенсировать эффект увеличения \( \omega \).

Сила, вызывающая смещение, — центробежная сила \( F_c = m \omega^2 r \).

Сопротивляющаяся сила — сила, связанная с давлением столбика ртути. Если начальная длина столбика \( h \) соответствует давлению \( P_1 = \rho_1 g h \), и это давление уравновешивает центробежную силу \( F_{c1} = m_1 \omega_1^2 r \).

\( m_1 = \rho_1 S h \), так что \( F_{c1} = \rho_1 S h \omega_1^2 r \).

При \( \omega_2 = 2 \omega_1 \), центробежная сила \( F_{c2} = m_2 \omega_2^2 r = \rho_2 S h (2\omega_1)^2 r = 4 \rho_2 S h \omega_1^2 r \).

Для того чтобы столбик не сместился, давление, создаваемое новым столбиком ртути, должно уравновешивать новую центробежную силу. Если мы хотим, чтобы столбик остался той же длины \( h \), то давление \( P_2 = \rho_2 g h \) должно быть равно \( P_{атм} \) (давление, которое создавало равновесие в начальных условиях, если считать, что \( P_{атм} \) — это результирующее давление, которое уравновешивает центробежную силу).

Но в условии сказано, что \( P_{атм} \) — это атмосферное давление. Изначально, центробежная сила \( F_{ц1} = m_1 \omega_1^2 r \) противодействует некоторому давлению. Будем считать, что это давление воздуха у дна пробирки.

Давление на дно столбика ртути равно давлению воздуха под ним плюс гидростатическое давление столбика ртути.

\( P_{днa} = P_{внутр} + \rho g h \).

Начальное состояние: \( P_{воздуха, дно} = P_{атм, снаружи} \).

\( P_{ртути, дно} = P_{воздуха, дно} + \rho_1 g h \).

Из-за вращения, есть дополнительное давление.

Рассмотрим силы, действующие на столбик ртути. Масса столбика \( m = \rho S h \). Центробежная сила \( F_c = m \omega^2 r = \rho S h \omega^2 r \). Эта сила действует на центр масс столбика. Её нужно уравновесить.

Если температура повышается, \( \rho \) уменьшается. Если \( \omega \) увеличивается, \( F_c \) увеличивается.

Условие, что столбик ртути не сместился, означает, что его положение (длина \( h \) и положение центра масс \( r \)) остается прежним.

Для несмещения, баланс сил должен сохраняться. Это означает, что давление, создаваемое столбиком ртути, должно компенсировать возросшее центробежное действие.

Давление, создаваемое центром столбика ртути из-за вращения, эквивалентно \( \rho \omega^2 r^2 / 2 \).

Чтобы столбик не сместился, сила, удерживающая его, должна увеличиться. Это происходит за счет уменьшения плотности ртути.

Условие равновесия: \( P_{атм} = \rho_1 \omega_1^2 r \frac{h}{2} \) (приблизительно, если брать давление в центре столбика).

При \( \omega_2 = 2\omega_1 \), для несмещения:

\[ P_{атм} = \rho_2 \omega_2^2 r \frac{h}{2} = \rho_2 (2\omega_1)^2 r \frac{h}{2} = 4 \rho_2 \omega_1^2 r \frac{h}{2} \]

Приравнивая:

\[ \rho_1 \omega_1^2 r \frac{h}{2} = 4 \rho_2 \omega_1^2 r \frac{h}{2} \]

\( \rho_1 = 4 \rho_2 \)

\( \rho_2 = \frac{1}{4} \rho_1 \).

Это то же самое соотношение, что и раньше.

Дальнейший расчет температуры:

\( T_2 \approx 4186.7^\text{o}C \).

Возможно, условие «атмосферные условия считать нормальными» означает, что \( P_{атм} \) — это внешнее давление, которое уравновешивает внутренние давления. Изначально, при \( \omega_1 \), столбик находится в положении \( h \).

Если \( T \) нагревается, \( \rho \) уменьшается. Если \( \omega \) увеличивается, \( F_c \) увеличивается.

Задача сводится к тому, чтобы при \( \omega_2 = 2\omega_1 \) плотность ртути \( \rho_2 \) была такой, чтобы центробежная сила \( F_{c2} \) была уравновешена. Это означает, что \( \rho_2 \) должна быть меньше, чем \( \rho_1 \).

Если \( \rho \) уменьшается в 4 раза, то \( F_c \) при \( \omega_2 \) будет таким же, как \( F_c \) при \( \omega_1 \) с \( \rho_1 \).

\( F_{c2} = m_2 \omega_2^2 r = (\rho_2 S h) (2\omega_1)^2 r = 4 \rho_2 S h \omega_1^2 r \).

\( F_{c1} = m_1 \omega_1^2 r = (\rho_1 S h) \omega_1^2 r \).

Чтобы \( F_{c2} = F_{c1} \) (если предположить, что сила, противодействующая смещению, пропорциональна \( F_c \) при \( \omega_1 \)), нужно \( 4 \rho_2 = \rho_1 \).

\( \rho_2 = \frac{1}{4} \rho_1 \).

Далее расчет температуры:

\( \rho_2 = \rho_1 (1 - \beta (T_2 - T_1)) \)

\( \frac{1}{4} \rho_1 = \rho_1 (1 - \beta (T_2 - T_1)) \)

\( \frac{1}{4} = 1 - \beta (T_2 - T_1) \)

\( \beta (T_2 - T_1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

\( T_2 - T_1 = \frac{3}{4 \beta} \)

Используем \( \beta = 1.8 \times 10^{-4} \text{ K}^{-1} \) и \( T_1 = 20^\text{o}C \).

\( T_2 - 20 = \frac{3}{4 \times 1.8 \times 10^{-4}} = \frac{3}{7.2 \times 10^{-4}} = \frac{30000}{7.2} \) \( \approx 4166.7 \)

\( T_2 \approx 20 + 4166.7 = 4186.7^\text{o}C \).

Предполагая, что в начальных условиях атмосферное давление \( P_{атм} \) уравновешивает силу, создаваемую центробежным ускорением в центре столбика: \( P_{атм} = \rho_1 \omega_1^2 r \frac{h}{2} \).

При увеличении \( \omega \) в 2 раза, центробежная сила увеличивается в 4 раза. Для того, чтобы столбик не сместился, необходима большая противодействующая сила. При нагревании плотность ртути уменьшается.

Чтобы столбик не сместился, \( \rho_2 \omega_2^2 r \frac{h}{2} = P_{атм} \).

\( \rho_2 (2\omega_1)^2 r \frac{h}{2} = \rho_1 \omega_1^2 r \frac{h}{2} \)

\( 4 \rho_2 \omega_1^2 r \frac{h}{2} = \rho_1 \omega_1^2 r \frac{h}{2} \)

\( 4 \rho_2 = \rho_1 \)

\( \rho_2 = \frac{1}{4} \rho_1 \).

\( T_2 = T_1 + \frac{3}{4 \beta} = 20^\text{o}C + \frac{3}{4 \times 1.8 \times 10^{-4} \text{ K}^{-1}} \text{ K} \)

\( T_2 = 20^\text{o}C + 4166.7^\text{o}C = 4186.7^\text{o}C \).

Ответ: T₂ ≈ 4186.7 °C.