24. Перед собирающей линзой, оптическая сила которой равна 2,5 дптр, на расстоянии 30 см находится предмет высотой 20 см. Определите: а) фокусное расстояние линзы; б) расстояние от линзы до изображения предмета; в) линейное увеличение линзы; г) высоту изображения.

Краткая запись:

• Оптическая сила (D): 2,5 дптр
• Расстояние до предмета (d): 30 см
• Высота предмета (h): 20 см
• Найти:
• Фокусное расстояние (F) — ?
• Расстояние до изображения (f) — ?
• Линейное увеличение (Г) — ?
• Высота изображения (h') — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем фокусное расстояние линзы. Оптическая сила (D) обратно пропорциональна фокусному расстоянию (F), выраженному в метрах: \( D = 1/F \). Чтобы найти \( F \), используем формулу: \( F = 1/D \).
• \( F = 1 / 2,5 \) дптр = 0,4 м
• Переводим в сантиметры: \( 0,4 \text{ м} \cdot 100 \text{ см/м} = 40 \) см.
2. Шаг 2: Определяем расстояние до изображения предмета. Используем формулу тонкой линзы: \( \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} \). Выражаем \( f \): \( \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} \).
• \( \frac{1}{f} = \frac{1}{40 \text{ см}} - \frac{1}{30 \text{ см}} \)
• Приводим к общему знаменателю (120): \( \frac{1}{f} = \frac{3}{120 \text{ см}} - \frac{4}{120 \text{ см}} = -\frac{1}{120 \text{ см}} \)
• \( f = -120 \) см. Отрицательный знак означает, что изображение мнимое и находится с той же стороны, что и предмет.
• *Примечание: в задаче указано, что линза собирающая, но расчет дает мнимое изображение. Возможно, в условии есть ошибка, или предмет находится ближе фокусного расстояния. Принимаем условие задачи как есть.
3. Шаг 3: Определяем линейное увеличение линзы. Линейное увеличение (Г) равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета: \( \Gamma = \frac{f}{d} \) (или \( \Gamma = -\frac{f}{d} \) в зависимости от соглашений). Чаще используют \( \Gamma = |\frac{f}{d}| \) для модуля увеличения или \( \Gamma = -\frac{f}{d} \) для знакового увеличения. Будем использовать \( \Gamma = -\frac{f}{d} \) для учета мнимого характера изображения.
• \( \Gamma = -\frac{-120 \text{ см}}{30 \text{ см}} = 4 \)
4. Шаг 4: Определяем высоту изображения. Высота изображения (h') находится по формуле: \( h' = \Gamma \cdot h \).
• \( h' = 4 \cdot 20 \text{ см} = 80 \) см.

Ответ:

• а) Фокусное расстояние линзы: 40 см.
• б) Расстояние от линзы до изображения предмета: -120 см (мнимое изображение).
• в) Линейное увеличение линзы: 4.
• г) Высота изображения: 80 см.