№24. Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.

Пусть \(CD=a\). Тогда по условию \(AD=2a\), а так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(BC=AD=2a\) и \(AB=CD=a\).

Точка \(M\) — середина \(AD\), поэтому \(AM=MD=a\). Следовательно, \(AB=AM=CD=MD=a\).

Так как \(AB\parallel CD\), то \(\angle BAM=\angle CDM\). Кроме того, \(AB=AM\), значит, треугольник \(ABM\) равнобедренный и \(\angle ABM=\angle BMA\). Аналогично из равенства \(CD=DM\) следует, что треугольник \(CDM\) равнобедренный и \(\angle DCM=\angle CMD\).

Поскольку лучи \(MA\) и \(MD\) являются противоположными, углы \(BMA\) и \(CMD\) в сумме дают \(180^\circ\). Из равенства углов при параллельных прямых получаем \(\angle BCM=\angle MCD\). Следовательно, \(CM\) делит угол \(BCD\) пополам.

Ответ: \(CM\) — биссектриса угла \(BCD\).