24. Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ABE равна половине площади трапеции.

Пусть основания трапеции — \(AD\) и \(BC\), а её высота равна \(h\). Выберем координаты: \(A=(0,0)\), \(D=(d,0)\), \(B=(x,h)\), \(C=(x+b,h)\), где \(AD=d\), \(BC=b\).

Так как \(E\) — середина \(CD\), её координаты равны \(\left(\frac{d+x+b}{2},\frac h2\right)\).

Площадь треугольника \(ABE\) равна половине модуля определителя векторов \(AB\) и \(AE\): \(S_{ABE}=\frac12\left|x\cdot\frac h2-h\cdot\frac{d+x+b}{2}\right|=\frac{h(d+b)}4\).

Площадь трапеции: \(S_{ABCD}=\frac{(d+b)h}{2}\). Следовательно, \(S_{ABE}=\frac12S_{ABCD}\), что и требовалось доказать.