24. Точка F — середина боковой стороны CD трапеции ABCD, а AB = BC + AD. Докажите, что AF — биссектриса угла BAD.

Так как CD — боковая сторона трапеции, её основания AD и BC параллельны. Обозначим через a = AD, b = BC, а через θ — угол BAD. Выберем координаты: A = (0; 0), D = (a; 0). Тогда, поскольку AB образует с AD угол θ, имеем B = (AB · cos θ; AB · sin θ). Из BC ∥ AD следует, что C = (AB · cos θ + b; AB · sin θ).

Поскольку F — середина CD, её координаты равны

F = ((AB · cos θ + b + a) / 2; AB · sin θ / 2).

По условию a + b = AB, поэтому

F = (AB / 2 · (1 + cos θ); AB / 2 · sin θ).

Направляющий вектор биссектрисы угла между AD и AB равен (1 + cos θ; sin θ): это сумма единичных векторов вдоль этих сторон. Следовательно, вектор AF = (AB / 2) · (1 + cos θ; sin θ) направлен по биссектрисе угла BAD.

Ответ: AF — биссектриса угла BAD.