24. Треугольник вписан в окружность, центр которой лежит на его медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. (рис.)

Решение:

Пусть дан треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O. Центр окружности лежит на медиане AM (где M - середина BC).

Случай 1: Центр окружности совпадает с вершиной угла.

• Если центр окружности O совпадает с вершиной A, то AO является радиусом. Так как O лежит на медиане AM, то A, O, M лежат на одной прямой.
• BC является хордой, проходящей через центр окружности (диаметр). Следовательно, угол BAC, опирающийся на диаметр, равен 90°. Треугольник прямоугольный.

Случай 2: Центр окружности не совпадает с вершиной угла.

• Так как O лежит на медиане AM, и M - середина BC, то AM является медианой, проведенной к основанию BC.
• Если центр описанной окружности лежит на медиане, то эта медиана является также высотой и биссектрисой. Это возможно только в равнобедренном треугольнике, где AB = AC.
• В этом случае, медиана AM перпендикулярна BC, значит, угол AMB = 90°.
• Однако, центр окружности O лежит на AM, и если O не совпадает с A, то AM не обязательно является высотой.
• Рассмотрим свойство: центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника. То есть OA = OB = OC = R (радиус окружности).
• Так как O лежит на медиане AM, то OM перпендикулярно BC, если AM является высотой.
• Если O лежит на медиане AM, то OA = OB = OC.
• Рассмотрим треугольники OBM и OCM. OB = OC (радиусы), OM - общая сторона, BM = MC (M - середина BC). Следовательно, треугольники OBM и OCM равны по трем сторонам. Угол OMB = Угол OMC = 90°.
• Таким образом, медиана AM является также высотой, проведенной к стороне BC.
• Если медиана является высотой, то треугольник ABC равнобедренный с основанием BC (AB = AC).
• Доказательство:
• Пусть AM - медиана, O - центр окружности, O лежит на AM. OA = OB = OC = R.
• Рассмотрим треугольник OBC. OB = OC, значит, треугольник OBC равнобедренный. OM - медиана к основанию BC, следовательно, OM является и высотой. OM ⊥ BC.
• Так как O лежит на AM, то AM также перпендикулярно BC.
• Следовательно, медиана AM является высотой. Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный (AB = AC).
• Объединение случаев:
• Если центр окружности O лежит на медиане AM, и M — середина BC, то O равноудален от B и C.
• Если O лежит на AM, то AM — ось симметрии треугольника ABC, если AB=AC.
• Если O лежит на медиане AM, то либо AM является высотой (случай равнобедренного треугольника), либо A является вершиной прямого угла (случай прямоугольного треугольника, если O - середина гипотенузы BC).
• Если центр окружности лежит на медиане, то эта медиана является либо высотой (равнобедренный треугольник), либо гипотенузой (прямоугольный треугольник, где медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, а центр лежит на середине гипотенузы).

Вывод: Треугольник либо равнобедренный (если медиана является высотой), либо прямоугольный (если медиана является гипотенузой).