24. Упростите выражения: а) \(\sqrt{67-42\sqrt2}+\sqrt{19-6\sqrt2}\); б) \(\sqrt{51-4\sqrt{77}}-\sqrt{47-4\sqrt{33}}\).

Для разложения используем \(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=|\sqrt a-\sqrt b|\).

1. а) \(67-42\sqrt2=(7-3\sqrt2)^2\), поскольку \(49+18=67\) и \(2\sqrt{49\cdot18}=42\sqrt2\). Поэтому первый корень равен \(7-3\sqrt2\). Далее \(19-6\sqrt2=(3\sqrt2-1)^2\), следовательно, второй корень равен \(3\sqrt2-1\). Сумма: \(7-3\sqrt2+3\sqrt2-1=6\).
2. б) \(51-4\sqrt{77}=(\sqrt{44}-\sqrt7)^2\), поэтому первый корень равен \(2\sqrt{11}-\sqrt7\). Также \(47-4\sqrt{33}=(\sqrt{44}-\sqrt3)^2\), поэтому второй корень равен \(2\sqrt{11}-\sqrt3\). Разность равна \(2\sqrt{11}-\sqrt7-(2\sqrt{11}-\sqrt3)=\sqrt3-\sqrt7\).

Ответ: а) 6; б) \(\sqrt3-\sqrt7\).