24. В окружности с центром О проведены две равные хорды KL и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Решение:

Для доказательства равенства отрезков OH и OS, которые являются перпендикулярами, опущенными на хорды KL и MN соответственно, будем использовать свойства хорд и прямоугольных треугольников.

• Дано: Окружность с центром О, хорды KL = MN, OH ⊥ KL, OS ⊥ MN.
• Доказать: OH = OS.
• Доказательство:
  • Поскольку OH ⊥ KL, то H — середина хорды KL (перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит ее пополам). Следовательно, KH = HL = ½ KL.
  • Аналогично, поскольку OS ⊥ MN, то S — середина хорды MN. Следовательно, MS = SN = ½ MN.
  • По условию, хорды равны: KL = MN.
  • Тогда ½ KL = ½ MN, что означает KH = MS.
  • Рассмотрим прямоугольные треугольники △ OKH и △ OMS.
  • OK = OM (радиусы окружности).
  • KH = MS (доказано выше).
  • Следовательно, △ OKH = △ OMS по гипотенузе и катету (первый признак равенства прямоугольных треугольников).
  • Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OH = OS.

Доказано.