24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что углы BB₁C₁ и BCC₁ равны.

Так как BB₁ — высота треугольника ABC, то BB₁ ⟂ AC. Поскольку точки B₁ и C лежат на прямой AC, получаем:

∠BB₁C = 90°.

Так как CC₁ — высота, то CC₁ ⟂ AB. Поскольку точки C₁ и B лежат на прямой AB, получаем:

∠BC₁C = 90°.

Следовательно, точки B, B₁, C, C₁ лежат на одной окружности с диаметром BC, так как вписанные углы BB₁C и BC₁C прямые.

В этой окружности углы BB₁C₁ и BCC₁ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же хорду BC₁. Поэтому они равны.

Ответ: ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.