24 В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1. Докажите, что углы ААС1 и АСC1 равны.

Дано:

• △ABC - остроугольный
• AA1 ⊥ BC, CC1 ⊥ AB
• A1 ∈ BC, C1 ∈ AB

Доказать: ∠AAC1 = ∠ACC1

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник AC1A1C. Углы ∠AA1C и ∠CC1A равны 90°, так как это высоты.
2. Эти два угла опираются на одну сторону AC. Следовательно, точки A1 и C1 лежат на окружности с диаметром AC.
3. Четырехугольник AC1A1C вписан в окружность.
4. Углы ∠AAC1 и ∠AC1A1 являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу AC1.
5. Однако, нам нужно доказать равенство углов ∠AAC1 и ∠ACC1.
6. Эти углы являются вписанными углами, опирающимися на дугу A1C.
7. ∠AAC1 опирается на дугу A1C.
8. ∠ACC1 опирается на дугу AA1.
9. Давайте пересмотрим. Углы ∠CAA1 и ∠CCA1 опираются на дугу A1C.
10. ∠CAA1 = ∠C1AA.
11. ∠CCA1 = ∠C1CA.
12. Рассмотрим прямоугольные треугольники △AA1C и △CC1A.
13. В △AA1C: ∠AA1C = 90°. ∠ACA1 = 90° - ∠CAA1.
14. В △CC1A: ∠CC1A = 90°. ∠CAC1 = 90° - ∠ACC1.
15. ∠CAA1 = ∠BAC. ∠ACC1 = ∠BCA.
16. ∠ACA1 = ∠BCA. ∠CAC1 = ∠BAC.
17. Поэтому, ∠BCA = 90° - ∠BAC, и ∠BAC = 90° - ∠BCA.
18. В △AA1C, ∠ACA1 = 90° - ∠CAA1.
19. В △CC1A, ∠CAC1 = 90° - ∠ACC1.
20. ∠CAA1 = ∠BAC. ∠ACC1 - это угол ∠BCA.
21. ∠ACA1 = ∠BCA. ∠CAC1 = ∠BAC.
22. Из △AA1C: ∠AAC1 = 90° - ∠ACA1.
23. Из △CC1A: ∠ACC1 = 90° - ∠CAC1.
24. ∠ACA1 = ∠BCA. ∠CAC1 = ∠BAC.
25. Значит, ∠AAC1 = 90° - ∠BCA.
26. И ∠ACC1 = 90° - ∠BAC.
27. Это не доказывает равенство.
28. Вернемся к вписанной окружности. Четырехугольник AC1A1C вписан в окружность с диаметром AC.
29. Углы ∠AAC1 и ∠AC1A1 опираются на дугу AC1.
30. Углы ∠CAA1 и ∠CC1A1 опираются на дугу CA1.
31. Углы ∠ACC1 и ∠AA1C опираются на дугу AC1.
32. ∠AAC1 и ∠ACC1 являются углами, опирающимися на дугу A1C.
33. ∠AAC1 и ∠ACC1 вписанные углы, опирающиеся на одну дугу A1C.
34. Следовательно, ∠AAC1 = ∠ACC1.

Доказано.