24. В открытом сверху цилиндре, расположенном вертикально, под поршнем находится гелий. В начальном состоянии поршень массой М и площадью основания S покоится на высоте h, опираясь на выступы (см. рисунок 1). Давление гелия p₀ равно внешнему атмосферному давлению. Какое количество теплоты Q нужно сообщить гелию при медленном нагревании, чтобы поршень оказался на высоте H = 2h (см. рисунок 2)? Тепловыми потерями и трением поршня о стенки цилиндра пренебречь.

Решение:

Задача описывает изобарное расширение гелия, так как внешнее давление и масса поршня остаются постоянными, а трение пренебрежимо мало.

Начальное состояние (Рисунок 1):

• Давление гелия \( p_1 = p_0 \) (равно внешнему атмосферному давлению).
• Объем гелия \( V_1 \).
• Температура гелия \( T_1 \).

Конечное состояние (Рисунок 2):

• Давление гелия \( p_2 = p_0 \) (изобарный процесс).
• Высота подъема поршня \( H = 2h \).
• Объем гелия \( V_2 \).
• Температура гелия \( T_2 \).

Из рисунка 1 видно, что начальный объем гелия \( V_1 = S \cdot h \).

Из рисунка 2 видно, что конечный объем гелия \( V_2 = S \cdot H = S \cdot 2h \).

Поскольку \( V_2 = 2 V_1 \) и процесс изобарный, по закону Гей-Люссака отношение объемов равно отношению температур:

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \]

Подставляя \( V_2 = 2 V_1 \):

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{2V_1}{T_2} \]

Отсюда \( T_2 = 2 T_1 \).

Количество теплоты \( Q \), сообщенное гелию, идет на увеличение его внутренней энергии \( ΔU \) и на совершение работы \( A \) над поршнем:

\[ Q = ΔU + A \]

Для одноатомного идеального газа (гелий является одноатомным) внутренняя энергия связана с температурой:

\[ ΔU = \frac{3}{2} ν R (T_2 - T_1) \]

где \( ν \) — количество вещества гелия, \( R \) — универсальная газовая постоянная.

Так как \( T_2 = 2 T_1 \), то \( ΔU = \frac{3}{2} ν R (2T_1 - T_1) = \frac{3}{2} ν R T_1 \).

Работа \( A \), совершаемая газом при изобарном процессе:

\[ A = p_0 (V_2 - V_1) = p_0 (2Sh - Sh) = p_0 Sh \]

По закону Менделеева-Клапейрона для начального состояния:

\[ p_0 V_1 = ν R T_1 \]

Подставляем \( p_0 V_1 = p_0 Sh \):

\[ p_0 Sh = ν R T_1 \]

Теперь подставим выражения для \( ΔU \) и \( A \) в формулу для \( Q \):

\[ Q = \frac{3}{2} (ν R T_1) + p_0 Sh \]

Заменим \( ν R T_1 \) на \( p_0 Sh \):

\[ Q = \frac{3}{2} (p_0 Sh) + p_0 Sh \]

Сложим члены:

\[ Q = \frac{5}{2} p_0 Sh \]

Ответ: Теплота, сообщенная гелию, равна \( \frac{5}{2} p_0 Sh \).