24. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 111°. Найдите углы между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим длину стороны AB = CD за 1. Тогда AC = 2.

В треугольнике ACD по теореме косинусов:

AD² = AC² + CD² − 2 · AC · CD · cos 111° = 5 − 4 cos 111°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам. Из векторного произведения направлений диагоналей получается, что косинус меньшего угла между ними равен sin 55,5° = cos 34,5°. Значит, меньший угол равен 34,5°, а второй — 180° − 34,5° = 145,5°.

Ответ: 34,5° и 145,5°.