24. В параллелограмме ABCD точка G — середина стороны AB. Известно, что GC = GD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf u\) и \(\overrightarrow{AD}=\mathbf v\). Возьмём точку A за начало координат. Тогда \(B=\mathbf u\), \(D=\mathbf v\), \(C=\mathbf u+\mathbf v\), а поскольку G — середина AB, \(G=\frac{\mathbf u}{2}\).

Из условия \(GC=GD\), поэтому равны квадраты этих расстояний:

\(\left|\frac{\mathbf u}{2}+\mathbf v\right|^2=\left|\frac{\mathbf u}{2}-\mathbf v\right|^2.\)

Раскрывая квадраты скалярных произведений, получаем:

\(\frac{|\mathbf u|^2}{4}+\mathbf u\cdot\mathbf v+|\mathbf v|^2=\frac{|\mathbf u|^2}{4}-\mathbf u\cdot\mathbf v+|\mathbf v|^2,\)

откуда \(2\mathbf u\cdot\mathbf v=0\), то есть \(\mathbf u\cdot\mathbf v=0\). Следовательно, стороны AB и AD перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.