24. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

Так как угол ACB тупой, основания высот A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон за точку C. Поэтому лучи CA₁ и CB, а также лучи CB₁ и CA противоположны. Следовательно, ∠A₁CB₁ = ∠ACB.

Рассмотрим прямоугольные треугольники CAA₁ и CBB₁. У них равны прямые углы, а углы при C равны: каждый смежен с углом ACB. Значит, эти треугольники подобны по двум углам. Из подобия следует CA₁/CB₁ = CA/CB.

В треугольниках A₁CB₁ и ACB пропорциональны две стороны, заключающие равные углы при C. Следовательно, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: △A₁CB₁ ∼ △ACB.