24. В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота СН равна 4, BC = 8. Найдите cosA.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^{\circ} \).

Высота \( CH = 4 \), \( BC = 8 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. \( \angle CHB = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора в \( \triangle BCH \):

\[ BH^2 + CH^2 = BC^2 \]\[ BH^2 + 4^2 = 8^2 \]\[ BH^2 + 16 = 64 \]\[ BH^2 = 64 - 16 = 48 \]\[ BH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]

В прямоугольном треугольнике ABC, по условию \( \angle C = 90^{\circ} \). Высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH и BH.

По свойству высоты прямоугольного треугольника:

\[ CH^2 = AH \cdot BH \]\[ 4^2 = AH \cdot 4\sqrt{3} \]\[ 16 = AH \cdot 4\sqrt{3} \]\[ AH = \frac{16}{4\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

Теперь найдём гипотенузу AB:

\[ AB = AH + BH = \frac{4\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3} + 12\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \]

Теперь найдём \( \cos A \) в прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

Сначала найдём AC по теореме Пифагора в \( \triangle ABC \) или \( \triangle ACH \).

В \( \triangle ACH \), \( \angle CHA = 90^{\circ} \):

\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]\[ AC^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 4^2 \]\[ AC^2 = \frac{16 \cdot 3}{9} + 16 = \frac{16}{3} + 16 = \frac{16 + 48}{3} = \frac{64}{3} \]\[ AC = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \]

Теперь найдём \( \cos A \):

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}}{\frac{16\sqrt{3}}{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{16\sqrt{3}} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]

Ответ: \( \cos A = \frac{1}{2} \).