24. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinA = 3/20, AC = √391. Найдите АВ.

Пошаговое решение:

• По определению синуса в прямоугольном треугольнике: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
• Нам дано: \( \sin A = \frac{3}{20} \) и \( AC = \sqrt{391} \).
• По теореме Пифагора: \( AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} \).
• Из определения синуса, выразим BC: \( BC = AB \cdot \sin A = AB \cdot \frac{3}{20} \).
• Подставим AC и BC в теорему Пифагора:
• \( AB^{2} = (\sqrt{391})^{2} + (AB \cdot \frac{3}{20})^{2} \)
• \( AB^{2} = 391 + AB^{2} \cdot \frac{9}{400} \)
• Перенесем члены с \( AB^{2} \) в одну сторону:
• \( AB^{2} - AB^{2} \cdot \frac{9}{400} = 391 \)
• Вынесем \( AB^{2} \) за скобки:
• \( AB^{2} \cdot (1 - \frac{9}{400}) = 391 \)
• \( AB^{2} \cdot (\frac{400 - 9}{400}) = 391 \)
• \( AB^{2} \cdot \frac{391}{400} = 391 \)
• Разделим обе части на \( \frac{391}{400} \):
• \( AB^{2} = 391 \cdot \frac{400}{391} \)
• \( AB^{2} = 400 \)
• Извлечем квадратный корень:
• \( AB = \sqrt{400} \)
• \( AB = 20 \)

Ответ: 20