24 ВК — биссектриса, АК = ВК = ВС. Найдите угол х.

Дано:

• ВК — биссектриса ∠ABC.
• АК = ВК = ВС.

Найти: Угол x (∠BCA).

Решение:

1. ∆BKC: Так как ВК = ВС, то ∆BKC — равнобедренный. Следовательно, ∠BKC = ∠BCK = x.
2. ∠KBC = 180° - 2x (сумма углов ∆BKC).
3. ∠ABC: Так как ВК — биссектриса, то ∠ABK = ∠KBC = 180° - 2x.
4. ∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = (180° - 2x) + (180° - 2x) = 360° - 4x.
5. ∆AKB: Угол ∠AKB является внешним углом для ∆BKC. Значит, ∠AKB = ∠KBC + ∠BCK = (180° - 2x) + x = 180° - x.
6. ∆AKB (другой способ): Угол ∠AKB смежный с ∠BKC. Значит, ∠AKB = 180° - ∠BKC = 180° - x.
7. ∆ABK: Сумма углов ∆ABK равна 180°. ∠BAK + ∠ABK + ∠AKB = 180°.
8. ∆ABK: ∠BAK + (180° - 2x) + (180° - x) = 180°.
9. ∆ABK: ∠BAK + 360° - 3x = 180°. ∠BAK = 3x - 180°.
10. ∆ABC: Сумма углов ∆ABC равна 180°. ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
11. ∆ABC: ∠BAC + (360° - 4x) + x = 180°.
12. ∆ABC: ∠BAC + 360° - 3x = 180°. ∠BAC = 3x - 180°.
13. ∆AKB: Так как АК = ВК, то ∆AKB — равнобедренный. ∠BAK = ∠ABK.
14. Приравниваем углы: 3x - 180° = 180° - 2x.
15. Решаем уравнение: 5x = 360°. x = 72°.

Ответ: 72°