24. Вынесите множитель из-под знака корня: a) √25a³; б) ∜405a⁵; в) ∛250x⁴y⁷; г) 3mn ∜ 80x⁷ 243m⁴n⁷

Пояснение:

Для решения этих задач нужно разложить число под корнем на множители и вынести те, которые можно извлечь из-под знака корня. Это делается путем представления числа в виде степени, показатель которой кратен показателю корня.

Пошаговое решение:

• а) √25a³
• Разложим число 25 и степень 'a': √(5² · a² · a)
• Вынесем множители из-под корня: 5a√(a)
• б) ∜405a⁵
• Разложим число 405: 405 = 81 · 5 = 3⁴ · 5.
• Представим степень 'a': a⁵ = a³ · a².
• Перепишем под корнем: ∜(3⁴ · 5 · a³ · a²)
• Вынесем множители из-под корня: 3a∜(3 · 5 · a²) = 3a∜(15a²)
• в) ∛250x⁴y⁷
• Разложим число 250: 250 = 125 · 2 = 5³ · 2.
• Представим степени 'x' и 'y': x⁴ = x³ · x, y⁷ = y⁶ · y = (y²)³ · y.
• Перепишем под корнем: ∛(5³ · 2 · x³ · y⁶ · x · y)
• Вынесем множители из-под корня: 5xy²∛(2xy)
• г) 3mn ∜ 80x⁷ 243m⁴n⁷
• Разложим числитель: 80 = 16 · 5 = 2⁴ · 5. x⁷ = x⁴ · x³.
• Разложим знаменатель: 243 = 3⁵. m⁴, n⁷.
• Перепишем под корнем: $$ 3mn ∜ rac{2^4 · 5 · x^4 · x^3}{3^5 · m^4 · n^7} $$
• Вынесем множители из-под корня:
• Числитель: 2x∜(2 · 5 · x³) = 2x∜(10x³)
• Знаменатель: 3mn∜(3· m · n)
• Объединим: $$ 3mn · rac{2x ∜(10x³)}{3mn ∜(3mn)} $$
• Сократим: $$ rac{2x ∜(10x³)}{∜(3mn)} $$

Ответ:

• а) 5a√(a)
• б) 3a∜(15a²)
• в) 5xy²∛(2xy)
• г) $$ rac{2x ∜(10x³)}{∜(3mn)} $$