241. Решите уравнения: а) x² − 1/x² = 0; б) x² − 1/x − 2 = 0; в) x² + 3x + 1 = 0; г) 3x² + 1/x − 4 = 0.

Question

Вопрос:

241. Решите уравнения: а) x² − 1/x² = 0; б) x² − 1/x − 2 = 0; в) x² + 3x + 1 = 0; г) 3x² + 1/x − 4 = 0.

Accepted Answer

а) Область допустимых значений: \(x\ne0\). Умножим уравнение на \(x^2\): \(x^4-1=0\), то есть \((x^2-1)(x^2+1)=0\). Среди действительных чисел получаем \(x=\pm1\).
б) \(x\ne0\). Умножим на \(x\): \(x^3-2x-1=0\). Подбором находим корень \(x=-1\), поэтому \(x^3-2x-1=(x+1)(x^2-x-1)\). Решая квадратное уравнение, получаем \(x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\). Все три корня допустимы.
в) \(D=3^2-4\cdot1\cdot1=5\), поэтому \(x=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}\).
г) \(x\ne0\). Умножим на \(x\): 3x^3-4x+1=0\). Корень \(x=1\); разложение: \(3x^3-4x+1=(x-1)(3x^2+3x-1)\). Из квадратного множителя \(x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}6\). Все корни допустимы.

Ответ: а) \(−1,1\); б) \(−1,\frac{1−\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}\); в) \(\frac{−3−\sqrt5}{2},\frac{−3+\sqrt5}{2}\); г) \(1,\frac{−3−\sqrt{21}}6,\frac{−3+\sqrt{21}}6\).