242. (Для работы в парах.) Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) 12/(x² − 2x + 3) = x² − 2x − 1; б) 12/(x² + x − 10) − 6/(x² + x − 6) = 5/(x² + x − 11); в) 16/(x² − 2x) − 11/(x² − 2x + 3) = 9/(x² − 2x + 1).

а) Введём новую переменную \(t=x^2-2x\). Тогда знаменатель равен \(t+3\), а правая часть — \(t-1\). Учитываем ограничение \(t\ne-3\).

\(\dfrac{12}{t+3}=t-1\), значит \(12=(t-1)(t+3)\), откуда \(t^2+2t-15=0\).

\((t-3)(t+5)=0\), поэтому \(t=3\) или \(t=-5\). Так как \(x^2-2x=(x-1)^2-1\ge-1\), значение \(t=-5\) невозможно.

При \(t=3\): \(x^2-2x=3\), то есть \((x-3)(x+1)=0\).

Ответ: \(x=-1,\ 3\).

б) Введём \(t=x^2+x\). Ограничения: \(t\ne10,6,11\).

\(\dfrac{12}{t-10}-\dfrac{6}{t-6}=\dfrac{5}{t-11}\).

Левая часть равна \(\dfrac{12(t-6)-6(t-10)}{(t-10)(t-6)}=\dfrac{6(t-2)}{(t-10)(t-6)}\). После умножения на знаменатели получаем \(6(t-2)(t-11)=5(t-10)(t-6)\).

Раскрываем скобки: \(t^2+2t-168=0\), откуда \(t=12\) или \(t=-14\).

При \(t=12\): \(x^2+x=12\), поэтому \((x-3)(x+4)=0\) и \(x=3\) или \(x=-4\). При \(t=-14\) уравнение \(x^2+x+14=0\) не имеет действительных корней.

Ответ: \(x=-4,\ 3\).

в) Введём \(t=x^2-2x\). Ограничения: \(t\ne0,-3,-1\).

\(\dfrac{16}{t}-\dfrac{11}{t+3}=\dfrac{9}{t+1}\).

Левая часть равна \(\dfrac{16(t+3)-11t}{t(t+3)}=\dfrac{5t+48}{t(t+3)}\). Умножаем на знаменатели: \((5t+48)(t+1)=9t(t+3)\).

После упрощения получаем \(2t^2-13t-24=0\), откуда \(t=8\) или \(t=-\dfrac32\).

При \(t=8\): \(x^2-2x=8\), значит \((x-4)(x+2)=0\). Значение \(t=-\dfrac32\) невозможно, поскольку \(x^2-2x=(x-1)^2-1\ge-1\).

Ответ: \(x=-2,\ 4\).