242 Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани...

Решение:

Так как одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, то это боковое ребро является высотой пирамиды. Предположим, что это ребро \( PO \), где \( P \) — вершина пирамиды, а \( O \) — одна из вершин квадрата основания. Тогда \( PO \) — высота пирамиды. Основание — квадрат \( OABC \).

1. Нахождение площади основания:

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Тогда площадь основания \( S_{осн} = a^2 \).

2. Нахождение площадей боковых граней:

• Грань \( POC \): Это прямоугольный треугольник с катетами \( PO = H \) (высота пирамиды) и \( OC = a \) (сторона квадрата). Площадь \( S_{POC} = \frac{1}{2} \cdot H \cdot a \).
• Грань \( PAB \): Рассмотрим прямоугольный треугольник \( POA \). Гипотенуза \( PA = \sqrt{PO^2 + OA^2} = \sqrt{H^2 + a^2} \). Для нахождения площади грани \( PAB \), нам нужна высота, опущенная из \( P \) на \( AB \). Так как \( PO \) перпендикулярно плоскости основания, то \( PO \) перпендикулярно \( AB \). Значит, \( PO \) является высотой грани \( PAB \). \( S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PO = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H \).
• Грань \( PBC \): Рассмотрим прямоугольный треугольник \( POB \). Гипотенуза \( PB = \sqrt{PO^2 + OB^2} = \sqrt{H^2 + (a\cdot\sqrt{2})^2} = \sqrt{H^2 + 2a^2} \). Для нахождения площади грани \( PBC \), нам нужна высота, опущенная из \( P \) на \( BC \). Так как \( PO \) перпендикулярно плоскости основания, то \( PO \) перпендикулярно \( BC \). Значит, \( PO \) является высотой грани \( PBC \). \( S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PO = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H \).

3. Нахождение площади боковой поверхности:

\( S_{бок} = S_{POC} + S_{PAB} + S_{PBC} = \frac{1}{2} aH + \frac{1}{2} aH + \frac{1}{2} aH = \frac{3}{2} aH \).

4. Нахождение площади полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + \frac{3}{2} aH \).

Ответ: Формула для площади полной поверхности пирамиды: \( S_{полн} = a^2 + \frac{3}{2} aH \), где \( a \) — сторона квадрата, \( H \) — высота пирамиды.