243 Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Краткая запись:

• Основание пирамиды: треугольник ABC
• AB = AC = 13 см
• BC = 10 см
• AD (высота) = 9 см
• Найти: Площадь боковой поверхности (S_бок)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем высоту треугольника ABC к основанию BC.
   Так как AB = AC, треугольник ABC — равнобедренный. Проведем высоту AM к основанию BC. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому BM = MC = BC / 2 = 10 см / 2 = 5 см.
   В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора найдем AM: \( AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} \)
   \( AM = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \) см.
2. Шаг 2: Найдем площадь треугольника BCD.
   Основание BC = 10 см. Высота пирамиды AD = 9 см. Поскольку AD перпендикулярно плоскости основания, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через основание D. Однако, для площади треугольника BCD нам нужна высота, проведенная из вершины D к основанию BC. В данном случае, если мы рассмотрим треугольник BCD, нам нужно найти высоту этого треугольника. Условие задачи подразумевает, что AD является ребром, перпендикулярным основанию. Для расчета площади боковой поверхности, нам нужно найти площади треугольников ABD, ACD, BCD.
3. Шаг 3: Найдем площадь треугольника ABD.
   Треугольник ABD — прямоугольный, так как AD перпендикулярно плоскости основания, и, следовательно, перпендикулярно AB. Основание AB = 13 см, высота AD = 9 см.
   \( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \)
   \( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 9 = \frac{117}{2} = 58.5 \) см².
4. Шаг 4: Найдем площадь треугольника ACD.
   Треугольник ACD — прямоугольный, так как AD перпендикулярно плоскости основания, и, следовательно, перпендикулярно AC. Основание AC = 13 см, высота AD = 9 см.
   \( S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \)
   \( S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 9 = \frac{117}{2} = 58.5 \) см².
5. Шаг 5: Найдем площадь треугольника BCD.
   Для нахождения площади треугольника BCD, мы можем использовать формулу площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \). Основание BC = 10 см. Нам нужно найти высоту, проведенную из D к BC. Поскольку AD перпендикулярно плоскости основания, ребро BD и CD являются гипотенузами прямоугольных треугольников ABD и ACD соответственно. Однако, для площади BCD, нам нужна высота из D на BC. Если точка D находится над серединой BC, то высота будет равна AD. Но D не обязательно над серединой. В данном случае, мы можем рассматривать треугольник BCD. Высота из D на BC, обозначим ее DH.
6. Шаг 6: Пересмотрим подход к площади боковой поверхности.
   Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников: ABD, ACD, BCD.
   Мы уже нашли площади ABD и ACD.
   \( S_{ABD} = 58.5 \) см².
   \( S_{ACD} = 58.5 \) см².
   Теперь найдем площадь треугольника BCD. Основание BC = 10 см. Нам нужна высота этого треугольника из вершины D к основанию BC. Поскольку AD перпендикулярно основанию, треугольники ABD и ACD являются прямоугольными. Треугольник ABC является равнобедренным с AB=AC=13 и BC=10. Высота AM = 12 см.
7. Шаг 7: Найдем длину ребер BD и CD.
   В прямоугольном треугольнике ABD: \( BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{13^2 + 9^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \) см.
   В прямоугольном треугольнике ACD: \( CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{13^2 + 9^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \) см.
8. Шаг 8: Найдем площадь треугольника BCD.
   Треугольник BCD имеет стороны BC = 10 см, BD = \( 5\sqrt{10} \) см, CD = \( 5\sqrt{10} \) см. Это равнобедренный треугольник. Высота из D к BC (пусть это DH) будет делить BC пополам, так как треугольник BCD равнобедренный. BH = HC = 5 см.
   В прямоугольном треугольнике BHD (или CHD): \( DH = \sqrt{BD^2 - BH^2} \)
   \( DH = \sqrt{(5\sqrt{10})^2 - 5^2} = \sqrt{250 - 25} = \sqrt{225} = 15 \) см.
   Теперь найдем площадь треугольника BCD:
   \( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH \)
   \( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 5 \cdot 15 = 75 \) см².
9. Шаг 9: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
   \( S_{бок} = S_{ABD} + S_{ACD} + S_{BCD} \)
   \( S_{бок} = 58.5 + 58.5 + 75 \)
   \( S_{бок} = 117 + 75 = 192 \) см².

Ответ: 192 см²