247. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения \(\dfrac{\frac{3}{2}a^2-2ab+\frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{9}b^2}+\dfrac{6b}{\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b}\) не зависит от \(a\) и \(b\).

Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители:

\(\frac{3}{2}a^2-2ab+\frac{2}{3}b^2=\frac{(3a-2b)^2}{6}\),
\(\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{9}b^2=\frac{(3a-2b)(3a+2b)}{36}\).

Тогда первая дробь равна \(\frac{6(3a-2b)}{3a+2b}\). Во второй дроби знаменатель равен \(\frac{3a+2b}{4}\), поэтому \(\frac{6b}{\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b}=\frac{24b}{3a+2b}\).

Складываем:

\(\frac{6(3a-2b)}{3a+2b}+\frac{24b}{3a+2b}=\frac{18a-12b+24b}{3a+2b}=6\).

При допустимых значениях переменных знаменатели исходного выражения не равны нулю, поэтому преобразования корректны.

Ответ: значение выражения постоянно и равно 6.