Решение:
- Замечательная Лермонтовская проза: «Лермонтовская» — прилагательное, образованное от фамилии Лермонтов, пишется с прописной буквы.
- Гоголевская сатира: «Гоголевская» — прилагательное, образованное от фамилии Гоголь, пишется с прописной буквы.
- представитель (Ф, ф)амусовского общества: «Фамусовского» — прилагательное, образованное от фамилии Фамусов, пишется с прописной буквы.
- (Ф, ф)едорино горе: «Федорино» — прилагательное, образованное от имени Федора, пишется с прописной буквы.
- (И, и)ваново детство: «Иваново» — прилагательное, образованное от фамилии Иванов, пишется с прописной буквы.
- (Ч, ч)еховский юмор: «Чеховский» — прилагательное, образованное от фамилии Чехов, пишется с прописной буквы.
- (Т, т)ургеневские романы: «Тургеневские» — прилагательное, образованное от фамилии Тургенев, пишется с прописной буквы.
- (Л, л)омоносовская премия: «Ломоносовская» — прилагательное, образованное от фамилии Ломоносов, пишется с прописной буквы.
- (П, п)ушкинские чтения: «Пушкинские» — прилагательное, образованное от фамилии Пушкин, пишется с прописной буквы.
- (С, с)онино счастье: «Сонино» — притяжательное прилагательное, образованное от имени Соня, пишется с прописной буквы.
- (А, а)хиллесова пята: «Ахиллесова» — прилагательное, образованное от имени Ахиллес (в составе устойчивого выражения), пишется с прописной буквы.
Ответ: Прописные буквы употребляются в прилагательных, образованных от имен собственных (фамилий, имен, географических названий), а также в составе устойчивых выражений, если они образованы от имен собственных.