248. Диагонали равнобокой трапеции ABCD (AB = CD) пересекаются в точке O. Докажите, что AO = OD и BO = OC.

Пусть основания трапеции — AD и BC, тогда AB и CD — равные боковые стороны. Так как трапеция равнобокая, её углы при основании AD равны: ∠DAB = ∠CDA.

Рассмотрим треугольники AOD и DOC. У них ∠AOD = ∠DOC как вертикальные углы, а ∠DAO = ∠ODC, поскольку AO и DO лежат на одной прямой, а равные углы при основании задают равные углы между диагоналями и боковыми сторонами. Следовательно, треугольники подобны. Из подобия получаем AO/OD = AD/CD.

Чтобы доказать требуемое, удобнее использовать симметрию равнобокой трапеции: она имеет ось симметрии, перпендикулярную основаниям и проходящую через их середины. При отражении относительно этой оси A переходит в D, B — в C, а точка пересечения диагоналей O остаётся на оси. Поэтому расстояния от O до симметричных вершин равны: AO = OD и BO = OC.

Что доказано: AO = OD и BO = OC.