248. Представьте в виде рациональной дроби: а) $\dfrac{x-\frac{yz}{y-z}}{y-\frac{xz}{x-z}}$; б) $\dfrac{\frac{a-x}{a}+\frac{x}{a-x}}{\frac{a+x}{a}-\frac{x}{a+x}}$; в) $\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$; г) $\dfrac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 248. Представьте в виде рациональной дроби: а) $\dfrac{x-\frac{yz}{y-z}}{y-\frac{xz}{x-z}}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Приведём числитель и знаменатель большой дроби к общему знаменателю:

$x-\frac{yz}{y-z}=\frac{xy-xz-yz}{y-z}$,
$y-\frac{xz}{x-z}=\frac{xy-yz-xz}{x-z}$.

Их общие числители совпадают, поэтому исходная дробь сокращается:

$\frac{\frac{xy-xz-yz}{y-z}}{\frac{xy-xz-yz}{x-z}}=\frac{x-z}{y-z}$.

б) Упростим верхнюю и нижнюю части сложной дроби отдельно:

$\frac{a-x}{a}+\frac{x}{a-x}=\frac{(a-x)^2+ax}{a(a-x)}=\frac{a^2-ax+x^2}{a(a-x)}$.

$\frac{a+x}{a}-\frac{x}{a+x}=\frac{(a+x)^2-ax}{a(a+x)}=\frac{a^2+ax+x^2}{a(a+x)}$.

Деление этих дробей даёт:

$\frac{a^2-ax+x^2}{a(a-x)}\cdot\frac{a(a+x)}{a^2+ax+x^2}=\frac{(a+x)(a^2-ax+x^2)}{(a-x)(a^2+ax+x^2)}$.

в) Сначала упростим вложенную дробь:

$1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$, следовательно, $1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{x}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}$.

Значит, $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=\frac{x+1}{2x+1}$.

г) Упростим знаменатель:

$1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1-\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x+1}$.

Поэтому $\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}=x+1$.

Ответ: а) $\frac{x-z}{y-z}$; б) $\frac{(a+x)(a^2-ax+x^2)}{(a-x)(a^2+ax+x^2)}$; в) $\frac{x+1}{2x+1}$; г) $x+1$.

248. Представьте в виде рациональной дроби: а) \(\dfrac{x-\frac{yz}{y-z}}{y-\frac{xz}{x-z}}\); б) \(\dfrac{\frac{a-x}{a}+\frac{x}{a-x}}{\frac{a+x}{a}-\frac{x}{a+x}}\); в) \(\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\); г) \(\dfrac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\).