25.1. 1) На рисунке 131 ABCD — параллелограмм, BT = DK. Докажите, что ATCK — параллелограмм. 2) Диагонали четырехугольника MNKP пересекаются в точке O. Является ли этот четырехугольник параллелограммом, если MO = 7 см, MK = 1,4 дм, NO = 5 см, OP = 50 мм?

1) Так как ABCD — параллелограмм, то AB ∥ CD и AB = CD.

Точки T и K лежат соответственно на сторонах AB и CD. Поэтому AT ∥ CK.

Кроме того, из равенств AB = CD и BT = DK получаем:

\(AT = AB - BT\), \(CK = CD - DK\), значит, \(AT = CK\).

В четырехугольнике ATCK противоположные стороны AT и CK равны и параллельны. Следовательно, ATCK — параллелограмм.

2) Приведем единицы измерения к сантиметрам:

\(MK = 1{,}4\ дм = 14\ см\), \(OP = 50\ мм = 5\ см\).

Так как \(MO = 7\ см\), то

\(OK = MK - MO = 14 - 7 = 7\ см\).

Следовательно, \(MO = OK\), то есть диагональ MK делится точкой O пополам.

Также \(NO = 5\ см\) и \(OP = 5\ см\), поэтому \(NO = OP\). Значит, диагональ NP также делится точкой O пополам.

Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: 1) ATCK — параллелограмм. 2) Да, MNKP — параллелограмм.