25.2. 1) На рисунке 132 MNKP — параллелограмм, AN = PB. Докажите, что AKBM — параллелограмм. 2) Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём OA = 0,6 дм, OB = 3 см, OC = BD = 60 мм. Является ли этот четырёхугольник параллелограммом?

1) В параллелограмме MNKP противоположные стороны параллельны и равны: MN ∥ PK, а MP ∥ NK и MP = NK. По рисунку точки A, N, K лежат на одной прямой, как и M, P, B.

Так как AN = PB, то AK = AN + NK и MB = MP + PB. Из MP = NK и AN = PB следует, что AK = MB. Кроме того, AK ∥ MB, поскольку эти отрезки лежат на прямых, параллельных сторонам NK и MP. Значит, в четырёхугольнике AKBM одна пара противоположных сторон равна и параллельна, поэтому AKBM — параллелограмм.

2) Переведём величины в сантиметры: OA = 0,6 дм = 6 см, OC = 60 мм = 6 см, BD = 60 мм = 6 см. Следовательно, OA = OC, то есть O — середина диагонали AC. Так как OB = 3 см, то OD = BD − OB = 6 − 3 = 3 см; значит, OB = OD, и O — середина диагонали BD.

Диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм.

Ответ: 1) AKBM — параллелограмм; 2) ABCD — параллелограмм.