25.24. Решите неравенство: 1) |x + 1| + |x + 2| > 2x + 3; 2) 2|x − 3| + |x + 1| ≤ 3x + 1; 3) |x + 1| + |x − 1| ≤ 2; 4) |x| − 2|x − 2| + 3|x + 5| ≥ 2x.

Точки смены знака выражений под модулями: −2 и −1.

Если x < −2, левая часть равна −2x − 3, и неравенство сводится к x < −3/2; оно верно для всех x < −2.

Если −2 ≤ x < −1, левая часть равна 1, поэтому 1 > 2x + 3, то есть x < −1; подходят все x из этого промежутка.

Если x ≥ −1, левая часть равна 2x + 3, и строгое неравенство не выполняется.

Ответ: x ∈ (−∞; −1).

Рассмотрим промежутки с границами −1 и 3.

При x < −1 неравенство превращается в 5 − 3x ≤ 3x + 1, откуда x ≥ 2/3; решений на этом промежутке нет.

При −1 ≤ x < 3 получаем 7 − x ≤ 3x + 1, откуда x ≥ 3/2. Подходят x ∈ [3/2; 3).

При x ≥ 3 обе части дают неравенство 3x − 5 ≤ 3x + 1, верное для всех таких x.

Ответ: x ∈ [3/2; +∞).

Для x ∈ [−1; 1] сумма модулей равна 2. За пределами этого промежутка сумма больше 2, поэтому условие выполняется ровно при −1 ≤ x ≤ 1.

Ответ: x ∈ [−1; 1].

Рассмотрим промежутки с границами −5, 0 и 2.

При x < −5 левая часть равна −2x − 19. Неравенство −2x − 19 ≥ 2x равносильно x ≤ −19/4 и выполняется для всех x < −5.

При −5 ≤ x < 0 левая часть равна 4x + 11. Условие 4x + 11 ≥ 2x выполняется на всём этом промежутке.

При 0 ≤ x < 2 левая часть равна 3x + 11, что не меньше 2x.

При x ≥ 2 левая часть равна 2x + 19, что также не меньше 2x.

Ответ: x ∈ ℝ.