25.3. 1) На рисунке 133 ABCD — параллелограмм, ∠1 = ∠2. Докажите, что ATCK — параллелограмм. 2) Точки A и B делят диагональ MK параллелограмма MNKP на три равные части. Докажите, что NAPB — параллелограмм.

1) Поскольку ABCD — параллелограмм, AB ∥ CD. Точки T и K лежат соответственно на AB и CD, следовательно, AT ∥ CK.

По рисунку ∠1 = ∠BTC, а ∠2 = ∠AKD. При этом TB ∥ KD. Равенство углов, образованных этими параллельными прямыми с TC и AK, означает, что TC ∥ AK.

У четырёхугольника ATCK обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому ATCK — параллелограмм.

2) Пусть точки расположены на диагонали в порядке M, A, B, K. Обозначим векторы \(\overrightarrow{MP}=u\) и \(\overrightarrow{MN}=v\). Тогда, поскольку MNKP — параллелограмм, \(\overrightarrow{MK}=u+v\), а деление диагонали на три равные части даёт \(\overrightarrow{MA}=(u+v)/3\) и \(\overrightarrow{MB}=2(u+v)/3\).

Найдём векторы противоположных сторон:

\(\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MN}=(u-2v)/3\), а \(\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MP}=(-u+2v)/3=-\overrightarrow{NA}\). Значит, NA ∥ PB.

Также \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MA}=(2u-v)/3\), а \(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MB}=(-2u+v)/3=-\overrightarrow{AP}\). Значит, AP ∥ BN.

Обе пары противоположных сторон четырёхугольника NAPB параллельны, следовательно, NAPB — параллелограмм.