25.3. 2) Точки A и B делят диагональ MK параллелограмма MNKP на три равные части. Докажите, что NAPB — параллелограмм.

Пусть \(\overrightarrow{MP}=\mathbf{u}\), а \(\overrightarrow{MN}=\mathbf{v}\). Тогда, поскольку MNKP — параллелограмм,

\[\overrightarrow{MK}=\mathbf{u}+\mathbf{v}.\]

Так как точки A и B делят диагональ MK на три равные части, то

\[\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}(\mathbf{u}+\mathbf{v}),\qquad \overrightarrow{MB}=\frac{2}{3}(\mathbf{u}+\mathbf{v}).\]

1. Найдём вектор \(\overrightarrow{NA}\):

\[\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\mathbf{u}+\mathbf{v})-\mathbf{v}=\frac{1}{3}(\mathbf{u}-2\mathbf{v}).\]

Найдём вектор \(\overrightarrow{PB}\):

\[\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MP}=\frac{2}{3}(\mathbf{u}+\mathbf{v})-\mathbf{u}=-\frac{1}{3}(\mathbf{u}-2\mathbf{v}).\]

Следовательно, стороны NA и PB равны и параллельны.

2. Найдём вектор \(\overrightarrow{AP}\):

\[\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MA}=\mathbf{u}-\frac{1}{3}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\frac{1}{3}(2\mathbf{u}-\mathbf{v}).\]

Найдём вектор \(\overrightarrow{NB}\):

\[\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}(\mathbf{u}+\mathbf{v})-\mathbf{v}=\frac{1}{3}(2\mathbf{u}-\mathbf{v}).\]

Значит, \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{NB}\), то есть стороны AP и NB равны и параллельны.

Таким образом, в четырёхугольнике NAPB противоположные стороны попарно равны и параллельны.

Ответ: NAPB — параллелограмм.