25(a) Точки A, C и D лежат на окружности с центром O. BA и BC являются касательными к окружности. Угол ABC = 32° и угол DAB = 143°. (i) Вычислите угол AOC в четырёхугольнике AOCB. (ii) Вычислите угол ACD. (iii) Вычислите угол OCD. (iv) OA = 6 см. Вычислите длину AB.

(i) Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \(\angle OAB=\angle OCB=90^\circ\).

Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\):

\[\angle AOC=360^\circ-90^\circ-32^\circ-90^\circ=148^\circ.\]

Ответ (i): \(148^\circ\).

(ii) По теореме о касательной и хорде угол между касательной \(AB\) и хордой \(AD\) равен углу в противоположной дуге. Острый угол между ними равен

\[180^\circ-143^\circ=37^\circ.\]

Ответ (ii): \(\angle ACD=37^\circ\).

(iii) Так как \(OA=OD\), треугольник \(AOD\) равнобедренный. Угол между \(OA\) и \(AD\) равен

\[143^\circ-90^\circ=53^\circ.\]

Следовательно,

\[\angle AOD=180^\circ-2\cdot53^\circ=74^\circ.\]

Углы вокруг точки O дают:

\[\angle COD=360^\circ-148^\circ-74^\circ=138^\circ.\]

Так как \(OC=OD\),

\[\angle OCD=\frac{180^\circ-138^\circ}{2}=21^\circ.\]

Ответ (iii): \(21^\circ\).

(iv) Два треугольника, образованные радиусами и касательными, равны, поэтому \(OB\) делит угол \(ABC\) пополам:

\[\angle ABO=\frac{32^\circ}{2}=16^\circ.\]

В прямоугольном треугольнике \(AOB\):

\[\tan16^\circ=\frac{OA}{AB}.\]

При \(OA=6\) см:

\[AB=\frac{6}{\tan16^\circ}\approx20.8\text{ см}.\]

Ответ (iv): \(AB\approx20.8\) см.