25. Четырехугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Обозначим через \(\alpha\) и \(\beta\) центральные углы, опирающиеся соответственно на хорды AB и CD. Для угла, образованного пересекающимися хордами, имеем:

\(\angle AKB = \dfrac{\alpha + \beta}{2}\).

По условию:

\(\dfrac{\alpha + \beta}{2} = 60^\circ\), поэтому \(\dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{\beta}{2} = 60^\circ\).

Пусть \(R\) — радиус окружности. Тогда по формуле длины хорды:

\(AB = 2R\sin\dfrac{\alpha}{2}\), \(CD = 2R\sin\dfrac{\beta}{2}\).

Обозначим \(u = \dfrac{\alpha}{2}\), \(v = \dfrac{\beta}{2}\). Тогда \(u+v=60^\circ\), а

\(\sin u = \dfrac{25}{2R}, \qquad \sin v = \dfrac{16}{2R}\).

Используем формулы суммы и разности синусов:

\(25+16=4R\sin 30^\circ\cos(u-v)=2R\cos(u-v)\),

\(25-16=4R\cos 30^\circ\sin(u-v)=2\sqrt3R\sin(u-v)\).

Возводя равенства в квадрат и складывая, получаем:

\[\left(\frac{41}{2R}\right)^2+\left(\frac{9}{2\sqrt3R}\right)^2=1.\]

\[\frac{1681}{4R^2}+\frac{81}{12R^2}=1.\]

\[\frac{427}{R^2}=1,\qquad R^2=427.\]

Следовательно,

Ответ: \(R=\sqrt{427}\).