25. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 39 и CD = 12 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Пусть дуги AB и CD, на которые опираются углы, образованные пересекающимися диагоналями, имеют градусные меры 2u и 2v. По теореме об угле между хордами внутри окружности: ∠AKB = u + v = 60°, то есть v = 60° − u.

Длина хорды, стягивающей дугу с половиной центрального угла u, равна 2R sin u. Поэтому

39 = 2R sin u,   12 = 2R sin(60° − u).

Делим первое равенство на второе:

13/4 = sin u / sin(60° − u).

Раскрывая синус разности и решая относительно tan u, получаем tan u = 13√3/21. Тогда

sin u = tan u / √(1 + tan²u) = 13√3/(6√79).

Из равенства 39 = 2R sin u следует

R = 39/(2 sin u) = 9√79/√3 = 3√237.

Ответ: 3√237.