25. Докажите, что угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равен половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство теоремы о угле между касательной и хордой:

Дано: Окружность с центром O, AB — касательная к окружности в точке A, AC — хорда.

Доказать: Угол BAC равен половине дуги AC.

Доказательство:

1. Проведем радиус: Проведем радиус OA к точке касания. По свойству касательной, радиус OA перпендикулярен касательной AB. Значит, угол OAB равен 90 градусов.
2. Рассмотрим треугольник AOC: Треугольник AOC — равнобедренный, так как OA и OC — радиусы окружности. Следовательно, углы OAC и OCA равны.
3. Связь с центральным углом: Центральный угол AOC равен градусной мере дуги AC.
4. Сумма углов в треугольнике: В треугольнике AOC сумма углов равна 180 градусов:
   \[
   \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ} \]
   Так как
   \[
   \angle OAC = \angle OCA \quad \text{и} \quad \angle AOC = \text{дуга } AC \]
   то
   \[
   2 \angle OAC + \text{дуга } AC = 180^{\circ} \]
   отсюда
   \[
   \angle OAC = \frac{180^{\circ} - \text{дуга } AC}{2} = 90^{\circ} - \frac{\text{дуга } AC}{2} \]
5. Угол между касательной и хордой: Угол BAC = угол OAB - угол OAC. Мы знаем, что угол OAB = 90 градусов.
   \[
   \angle BAC = 90^{\circ} - \angle OAC \]
   Подставляем выражение для
   \[
   \angle OAC \]
   из пункта 4:
   \[
   \angle BAC = 90^{\circ} - \left( 90^{\circ} - \frac{\text{дуга } AC}{2} \right) = 90^{\circ} - 90^{\circ} + \frac{\text{дуга } AC}{2} = \frac{\text{дуга } AC}{2} \]

Таким образом, угол BAC равен половине дуги AC. Теорема доказана.