25. Докажите, что угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами.

Доказательство:

Пусть \( AB \) — касательная к окружности в точке \( B \), а \( BC \) — хорда. Нам нужно доказать, что угол \( \angle ABC \) равен половине градусной меры дуги \( \stackrel{\frown}{BC} \).

1. Случай 1: Центр окружности лежит на касательной.
   Если центр \( O \) лежит на касательной \( AB \), то \( AB \) — диаметр. Тогда \( \angle BOC = 180^{\circ} \), и дуга \( \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} \). В этом случае \( BC \) — диаметр, что невозможно, так как \( BC \) — хорда, а \( AB \) — касательная.
   Рассмотрим другой случай.
2. Случай 2: Центр окружности \( O \) не лежит на касательной.
   Проведем радиус \( OB \). Так как \( AB \) — касательная, то \( OB \) перпендикулярен \( AB \) (свойство касательной). Следовательно, \( \angle ABO = 90^{\circ} \).
3. Рассмотрим \( \triangle OBC \). \( OB = OC \) (радиусы), поэтому \( \triangle OBC \) — равнобедренный.
4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OBC = \angle OCB \).
5. Сумма углов в \( \triangle OBC \): \( \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ} \).
6. \( \angle BOC + 2 \angle OBC = 180^{\circ} \).
7. \( \angle OBC = \frac{180^{\circ} - \angle BOC}{2} = 90^{\circ} - \frac{\angle BOC}{2} \).
8. Теперь рассмотрим угол между касательной и хордой \( \angle ABC \).
9. \( \angle ABC = \angle ABO - \angle OBC \)
10. \( \angle ABC = 90^{\circ} - \left( 90^{\circ} - \frac{\angle BOC}{2} \right) = \frac{\angle BOC}{2} \).
11. Угол \( \angle BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( \stackrel{\frown}{BC} \). Следовательно, градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{BC} \) равна \( \angle BOC \).
12. Таким образом, \( \angle ABC = \frac{\stackrel{\frown}{BC}}{2} \).

Что и требовалось доказать.