25. Исполнитель Плюс преобразует число на экране. У исполнителя есть две команды: 1. Прибавить 2; 2. Прибавить 5. Первая команда увеличивает число на 2, вторая увеличивает это число на 5. Программа для исполнителя Плюс — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 20?

Чтобы перейти от 1 к 20, нужно увеличить число на 19. Пусть первая команда выполнена \(a\) раз, а вторая — \(b\) раз. Тогда

\(2a+5b=19\).

Число \(b\) может быть равно 1 или 3:

• Если \(b=1\), то \(a=7\). Всего 8 команд, и команду «прибавить 5» можно поставить на любое из 8 мест: 8 программ.
• Если \(b=3\), то \(a=2\). Всего 5 команд; выбрать места для трёх команд «прибавить 5» можно \(\binom{5}{3}=10\) способами: 10 программ.

Итого: \(8+10=18\).

Ответ: 18 программ.