25. Начертите треугольник ABC и отметьте вне его любую точку M. Отразите M относительно вершины A и получите точку M₁. Теперь отразите M₁ относительно вершины B и получите точку M₂. Затем отразите M₂ относительно вершины C и получите точку M₃. Сделайте аналогичное построение для ещё нескольких точек, лежащих вне треугольника так же, как M. Убедитесь, что точки M и M₃ симметричны относительно одного центра. Где он находится?

При отражении точки относительно вершины эта вершина является серединой отрезка, соединяющего исходную точку и её образ:

\(A\) — середина \(MM_1\), \(B\) — середина \(M_1M_2\), \(C\) — середина \(M_2M_3\).

Для нескольких выбранных точек вне треугольника построение выполняется аналогично. Во всех случаях точки \(M\) и \(M_3\) оказываются симметричными относительно одной и той же точки \(O\).

Обозначим радиус-векторы точек буквами с теми же обозначениями. Тогда:

\(M_1=2A-M\),

\(M_2=2B-M_1=M+2B-2A\),

\(M_3=2C-M_2=-M+2A-2B+2C\).

Следовательно, \(M+M_3=2(A-B+C)\). Поэтому середина отрезка \(MM_3\) имеет радиус-вектор

\[O=A-B+C.\]

Точка \(O\) не зависит от выбора точки \(M\). Она является четвёртой вершиной параллелограмма \(ABOC\): диагонали \(AO\) и \(BC\) имеют общую середину.

Ответ: точки M и M₃ симметричны относительно центра O, где O — четвёртая вершина параллелограмма ABOC; \(O=A-B+C\).