25. Окружность радиуса 12 вписана в равнобедренную трапецию. Точка касания окружности с боковой стороной трапеции делит эту сторону в отношении 1 : 4. Найдите периметр трапеции.

Радиус вписанной окружности равен 12, поэтому высота трапеции равна диаметру окружности: 24.

Из одной вершины к окружности проведены две касательные, их отрезки равны. Поэтому отрезки касательных на боковой стороне, прилегающие к разным основаниям, относятся так же, как основания трапеции. Пусть основания равны \(x\) и \(4x\).

В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна половине разности оснований: \(\frac{4x-x}{2}=1.5x\). Боковая сторона равна половине суммы оснований: \(\frac{x+4x}{2}=2.5x\), поскольку у описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны.

По теореме Пифагора для боковой стороны: \((2.5x)^2=24^2+(1.5x)^2\). Отсюда \(6.25x^2=576+2.25x^2\), поэтому \(4x^2=576\), \(x=12\).

Основания равны 12 и 48, боковая сторона равна 30. Периметр: \(12+48+30+30=120\).

Ответ: 120.