25. Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Обозначим центры окружностей через O₁ и O₂. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов: O₁O₂ = 45 + 90 = 135.

Общие касательные AC и BD — внешние: внутренняя общая касательная у таких окружностей только одна. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Поэтому прямоугольные треугольники, образованные линией центров, радиусами и отрезками до точек касания, подобны. Проекции радиусов на линию центров отличаются на разность радиусов: 90 − 45 = 45.

Точки A и B симметричны относительно линии центров, как и точки C и D. Следовательно, прямые AB и CD перпендикулярны линии центров, а расстояние между ними равно разности их расстояний от O₁. Эти расстояния равны проекциям радиусов на линию центров: от O₁ до AB — 15, от O₁ до CD — 105. Значит, расстояние между прямыми равно 105 − 15 = 90.

Ответ: 90.