25. Сколько натуральных чисел, не превышающих 1000: а) делятся на 7 или на 11; б) не делятся ни на 5, ни на 13; в) делятся на 6 или на 10; г) не делятся ни на 12, ни на 30?

Рассматриваем натуральные числа от 1 до 1000. Для подсчёта чисел, делящихся хотя бы на одно из двух чисел, используем принцип включения-исключения: складываем количества кратных каждому числу и вычитаем количество кратных их наименьшему общему кратному.

1. а) Кратных 7 — \(\lfloor1000/7\rfloor=142\), кратных 11 — \(\lfloor1000/11\rfloor=90\), кратных обоим (77) — \(\lfloor1000/77\rfloor=12\). Итого: \(142+90-12=220\).
2. б) Кратных 5 — 200, кратных 13 — 76, кратных обоим (65) — 15. Делятся хотя бы на одно: \(200+76-15=261\). Не делятся ни на одно: \(1000-261=739\).
3. в) Кратных 6 — 166, кратных 10 — 100, кратных обоим (30) — 33. Итого: \(166+100-33=233\).
4. г) Кратных 12 — 83, кратных 30 — 33, кратных обоим (60) — 16. Делятся хотя бы на одно: \(83+33-16=100\). Не делятся ни на одно: \(1000-100=900\).

Ответ: а) 220; б) 739; в) 233; г) 900.