25. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠BAC = √11/6.

Пусть A — начало координат, AC — ось x, а θ = ∠BAC. Тогда M(9; 0), N(11; 0), cos θ = √11/6. Поскольку треугольник остроугольный, sin θ = 5/6.

Центр O любой окружности через M и N лежит на серединном перпендикуляре к MN, поэтому обозначим O(10; t). Радиус удовлетворяет равенству \(r^2=1+t^2\).

Расстояние от O до прямой AB равно радиусу. Единичная нормаль к AB имеет координаты (−sin θ; cos θ), поэтому

\[\left|-10\sin\theta+t\cos\theta\right|=r.\]

Возведём обе части в квадрат и подставим значения синуса и косинуса:

\[\left(\frac{\sqrt{11}t-50}{6}\right)^2=1+t^2,\]

\[25t^2+100\sqrt{11}t-2464=0.\]

Отсюда \(t=\frac{8\sqrt{11}}5\) или \(t=-\frac{28\sqrt{11}}5\). Чтобы окружность касалась именно луча AB, а не его продолжения за точку A, проекция центра O на направление луча должна быть положительной. Для этих двух значений t скалярное произведение O на единичный вектор луча AB равно соответственно \(3\sqrt{11}\) и \(-3\sqrt{11}\). Второй корень не подходит.

Для \(t=\frac{8\sqrt{11}}5\):

\[r=\sqrt{1+t^2}=\sqrt{1+\frac{704}{25}}=\frac{27}{5}.\]

Ответ: \(\frac{27}{5}\).