25. Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если cos ∠BAC = √15 / 4.

Решение:

Пусть \( R \) — искомый радиус окружности. Пусть \( \angle BAC = \alpha \). По условию, \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \).

Сначала найдем \( \sin \alpha \):

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \)

Так как \( \alpha \) — угол треугольника, \( \sin \alpha > 0 \). Следовательно, \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \).

Пусть O — центр искомой окружности, а K — точка касания окружности с лучом AB. Тогда OK \( \perp \) AB и OK = R.

Точки M и N лежат на стороне AC. AM = 4, AN = 15.

1. Свойство касательной и хорды: Пусть окружность пересекает сторону AC в точках M и N. Отрезок MN является хордой окружности.
2. Применим теорему о касательной и секущей: Если из точки A провести касательную AB и секущую, проходящую через M и N, то квадрат длины касательного отрезка (если бы он был) равен произведению отрезков секущей. Однако, у нас нет точки касания на AC.
3. Используем свойства окружности: Пусть O — центр окружности. Проведем перпендикуляр OK к AB, OK = R. Также проведем радиусы OM и ON. OM = ON = R.

4. Проекции: Проекция отрезка AO на AB равна \( AO \cos \alpha \). Проекция отрезка OK на AC равна \( OK \cos(90^{\circ} - \alpha) = OK \sin \alpha = R \sin \alpha \).

5. Координатный метод или другой подход: Рассмотрим положение центра окружности. Пусть A — начало координат. AC лежит на оси x, AB — на прямой, образующей угол \( \alpha \) с AC.

6. Расстояние от центра до хорды: Пусть середина хорды MN — точка P. MP = PN = \( \frac{15-4}{2} = \frac{11}{2} \). Расстояние от центра O до хорды MN, OP, связано с радиусом: \( R^2 = OP^2 + MP^2 \).

7. Введем систему координат: Поместим A в начало координат (0,0). AC — по оси x. Тогда M=(4, 0) и N=(15, 0).

   Прямая AB имеет уравнение \( y = x \tan \alpha \). Так как \( \sin \alpha = 1/4 \) и \( \cos \alpha = \sqrt{15}/4 \), то \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} \).

   Уравнение прямой AB: \( y = \frac{1}{\sqrt{15}} x \) или \( x - \sqrt{15} y = 0 \).

8. Центр окружности: Пусть центр окружности O имеет координаты (\( x_0 \), \( y_0 \)).

   Так как окружность проходит через M(4,0) и N(15,0), центр O лежит на серединном перпендикуляре к MN. Середина MN — \( \left(\frac{4+15}{2}, 0\right) = \left(\frac{19}{2}, 0\right) \).

   Серединный перпендикуляр к MN — это прямая \( x = \frac{19}{2} \).

   Значит, \( x_0 = \frac{19}{2} \).

9. Условие касания: Расстояние от центра O(\(\frac{19}{2}, y_0\)) до прямой \( x - \sqrt{15} y = 0 \) равно радиусу R.

   \( R = \frac{|\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{15})^2}} = \frac{|\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0|}{\sqrt{1 + 15}} = \frac{|\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0|}{\sqrt{16}} = \frac{|\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0|}{4} \).

   \( 4R = |\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0| \).

10. Радиус окружности: Также \( R^2 = (x_0 - 4)^2 + (y_0 - 0)^2 \).

    \( R^2 = (\frac{19}{2} - 4)^2 + y_0^2 = (\frac{19-8}{2})^2 + y_0^2 = (\frac{11}{2})^2 + y_0^2 = \frac{121}{4} + y_0^2 \).

11. Решаем систему уравнений:

    Из \( 4R = |\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0| \), возводим в квадрат: \( 16R^2 = (\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0)^2 \).

    Подставляем \( R^2 = \frac{121}{4} + y_0^2 \):

    \( 16(\frac{121}{4} + y_0^2) = (\frac{19}{2})^2 - 2 \cdot \frac{19}{2} \cdot \sqrt{15} y_0 + 15 y_0^2 \)

    \( 4 \cdot 121 + 16y_0^2 = \frac{361}{4} - 19\sqrt{15} y_0 + 15 y_0^2 \)

    \( 484 + 16y_0^2 = 90.25 - 19\sqrt{15} y_0 + 15 y_0^2 \)

    \( y_0^2 + 19\sqrt{15} y_0 + (484 - 90.25) = 0 \)

    \( y_0^2 + 19\sqrt{15} y_0 + 393.75 = 0 \)

    Это квадратное уравнение относительно \( y_0 \). Найдем дискриминант:

    \( D = (19\sqrt{15})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 393.75 = 19^2 \cdot 15 - 1575 = 361 \cdot 15 - 1575 = 5415 - 1575 = 3840 \)

    \( \sqrt{D} = \sqrt{3840} = \sqrt{256 \cdot 15} = 16\sqrt{15} \).

    \( y_0 = \frac{-19\sqrt{15} \pm 16\sqrt{15}}{2} \).

    Два возможных значения для \( y_0 \):

    \( y_{0,1} = \frac{-19\sqrt{15} + 16\sqrt{15}}{2} = \frac{-3\sqrt{15}}{2} \).

    \( y_{0,2} = \frac{-19\sqrt{15} - 16\sqrt{15}}{2} = \frac{-35\sqrt{15}}{2} \).

12. Найдем R:

    Если \( y_0 = -\frac{3\sqrt{15}}{2} \), то

    \( R^2 = \frac{121}{4} + \left(-\frac{3\sqrt{15}}{2}\right)^2 = \frac{121}{4} + \frac{9 \cdot 15}{4} = \frac{121 + 135}{4} = \frac{256}{4} = 64 \).

    \( R = \sqrt{64} = 8 \).

    Проверим условие касания: \( \frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0 = \frac{19}{2} - \sqrt{15} \left(-\frac{3\sqrt{15}}{2}\right) = \frac{19}{2} + \frac{3 \cdot 15}{2} = \frac{19 + 45}{2} = \frac{64}{2} = 32 \).

    \( 4R = 4 \cdot 8 = 32 \). Условие выполняется.

    Если \( y_0 = -\frac{35\sqrt{15}}{2} \), то

    \( R^2 = \frac{121}{4} + \left(-\frac{35\sqrt{15}}{2}\right)^2 = \frac{121}{4} + \frac{1225 \cdot 15}{4} = \frac{121 + 18375}{4} = \frac{18496}{4} = 4624 \).

    \( R = \sqrt{4624} = 68 \).

    Проверим условие касания: \( \frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0 = \frac{19}{2} - \sqrt{15} \left(-\frac{35\sqrt{15}}{2}\right) = \frac{19}{2} + \frac{35 \cdot 15}{2} = \frac{19 + 525}{2} = \frac{544}{2} = 272 \).

    \( 4R = 4 \cdot 68 = 272 \). Условие выполняется.

    Обычно в таких задачах ищется меньший радиус. Однако, в условии не сказано, что окружность должна быть внутри угла BAC.

    В данном случае, поскольку окружность касается луча AB, центр O должен быть расположен так, чтобы расстояние до AB было R. Точка касания K будет на AB.

    Рассмотрим случай, когда центр окружности находится ниже прямой AC. В этом случае \( y_0 < 0 \). Оба найденных значения \( y_0 \) отрицательны.

    Если точка касания K лежит на луче AB, то ее координата \( (x_K, y_K) \) удовлетворяет уравнению прямой AB. Расстояние от O(\(\frac{19}{2}, y_0\)) до K равно R.

    По теореме о касательной и секущей, проведенной из точки A, квадрат длины касательного отрезка к окружности равен произведению отрезков секущей. Однако, A не лежит на касательной. Вместо этого, используем теорему о равенстве отрезков касательных, проведенных из одной точки.

    Пусть точка касания окружности с лучом AB - K. Тогда AK - касательный отрезок. Пусть окружность пересекает AC в точках M и N.

    Мы имеем: \( AK^2 = AM · AN \) - это неверно, так как A не является точкой касания.

    Другой подход: Пусть O - центр окружности. Опустим перпендикуляры из O на AC (точка P) и на AB (точка K). OK = OP = R (это неверно, OK=R, а OP — это расстояние от центра до хорды MN, который лежит на AC).

    Пусть O = (\( x_0 \), \( y_0 \)). А = (0,0). AC — ось x. M=(4,0), N=(15,0).

    \( R^2 = (x_0-4)^2 + y_0^2 = (x_0-15)^2 + y_0^2 \)

    \( (x_0-4)^2 = (x_0-15)^2 \)

    \( x_0^2 - 8x_0 + 16 = x_0^2 - 30x_0 + 225 \)

    \( 22x_0 = 209 \)

    \( x_0 = \frac{209}{22} = \frac{19}{2} \). Это подтверждает, что центр лежит на серединном перпендикуляре.

    Расстояние от O(\(\frac{19}{2}, y_0\)) до прямой \( y = x \tan \alpha \) равно R.

    \( \tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{15}} \). Прямая: \( x - \sqrt{15} y = 0 \).

    \( R = \frac{|\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0|}{\sqrt{1 + 15}} = \frac{|\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0|}{4} \).

    \( 4R = |\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0| \).

    \( R^2 = (\frac{19}{2} - 4)^2 + y_0^2 = (\frac{11}{2})^2 + y_0^2 = \frac{121}{4} + y_0^2 \).

    \( 16R^2 = 16(\frac{121}{4} + y_0^2) = 484 + 16y_0^2 \).

    \( 16R^2 = (\frac{19}{2} - \sqrt{15} y_0)^2 = \frac{361}{4} - 19\sqrt{15} y_0 + 15y_0^2 \).

    \( 484 + 16y_0^2 = \frac{361}{4} - 19\sqrt{15} y_0 + 15y_0^2 \).

    \( y_0^2 + 19\sqrt{15} y_0 + 484 - 90.25 = 0 \)

    \( y_0^2 + 19\sqrt{15} y_0 + 393.75 = 0 \).

    \( y_0 = \frac{-19\sqrt{15} \pm \sqrt{(19\sqrt{15})^2 - 4(393.75)}}{2} = \frac{-19\sqrt{15} \pm \sqrt{5415 - 1575}}{2} = \frac{-19\sqrt{15} \pm \sqrt{3840}}{2} = \frac{-19\sqrt{15} \pm 16\sqrt{15}}{2} \).

    \( y_{0,1} = \frac{-3\sqrt{15}}{2} \) , \( y_{0,2} = \frac{-35\sqrt{15}}{2} \).

    Если \( y_0 = -\frac{3\sqrt{15}}{2} \), \( R^2 = \frac{121}{4} + (\frac{-3\sqrt{15}}{2})^2 = \frac{121}{4} + \frac{9 · 15}{4} = \frac{121+135}{4} = \frac{256}{4} = 64 \). \( R=8 \).

    Если \( y_0 = -\frac{35\sqrt{15}}{2} \), \( R^2 = \frac{121}{4} + (\frac{-35\sqrt{15}}{2})^2 = \frac{121}{4} + \frac{1225 · 15}{4} = \frac{121+18375}{4} = \frac{18496}{4} = 4624 \). \( R=68 \).

    Вторая окружность (R=68) будет касаться AB, но ее центр будет дальше от AB. Первая окружность (R=8) будет касаться AB и проходить через M и N.

Ответ: 8