25. Углы при одном из оснований трапеции равны 20° и 70°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 18 и 4. Найди основания трапеции. В ответ запиши получившиеся значения в порядке возрастания без пробелов через «;» (пример записи: 5;7).

Дано:

• Трапеция ABCD (AB || CD)
• Углы при одном основании: 20°, 70°
• Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон: 18 и 4

Решение:

Пусть основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны $$m$$ и $$n$$.

Известно, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$l = \frac{a+b}{2}$$.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией и равен $$l = \frac{a+b}{2}$$.

Рассмотрим отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Один из них является средней линией ($$l$$), а другой — его половина, если трапеция равнобедренная, или имеет другую зависимость.

В условии дано, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 18 и 4. Один из них — это средняя линия трапеции, то есть $$l = \frac{a+b}{2}$$. Другой отрезок, соединяющий середины оснований, равен $$h'$$, где $$h'$$ — высота средней линии.

Если мы предположим, что 18 — это средняя линия, то $$\frac{a+b}{2} = 18$$, откуда $$a+b = 36$$.

Другой отрезок, равный 4, соединяет середины диагоналей. В произвольной трапеции длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна полуразности оснований: $$k = \frac{|a-b|}{2}$$.

Если $$a+b = 36$$ и $$k = 4$$, то $$\frac{|a-b|}{2} = 4$$, откуда $$|a-b| = 8$$.

Получаем систему уравнений:

• $$a+b = 36$$
• $$|a-b| = 8$$

Рассмотрим два случая:

1. $$a-b = 8$$

Складывая уравнения $$a+b=36$$ и $$a-b=8$$, получаем $$2a = 44$$, следовательно $$a = 22$$.

Подставляя $$a=22$$ в $$a+b=36$$, получаем $$22+b=36$$, следовательно $$b = 14$$.

Основания: 22 и 14.

1. $$b-a = 8$$ (так как $$a$$ и $$b$$ — основания, порядок не важен, мы можем выбрать $$a > b$$ или $$b > a$$)

Складывая уравнения $$a+b=36$$ и $$b-a=8$$, получаем $$2b = 44$$, следовательно $$b = 22$$.

Подставляя $$b=22$$ в $$a+b=36$$, получаем $$a+22=36$$, следовательно $$a = 14$$.

Основания: 14 и 22.

В любом случае, основания трапеции равны 14 и 22.

Проверим, какие углы соответствуют этим основаниям. Если основания 14 и 22, то для сторон, которые образуют углы 20° и 70° с одним из оснований, можно построить треугольник. Если углы при нижнем основании 20° и 70°, то при верхнем основании они будут 180°-20° = 160° и 180°-70° = 110°. Это не соответствует условию, что углы при одном из оснований равны 20° и 70°.

Если углы при верхнем основании 20° и 70°, то при нижнем основании они будут 160° и 110°.

Рассмотрим случай, когда углы 20° и 70° относятся к разным основаниям. Например, у основания $$a$$ угол 20°, а у основания $$b$$ — 70°.

Пусть $$a$$ — верхнее основание, $$b$$ — нижнее.

Если провести высоту из вершины верхнего основания, то получим прямоугольный треугольник с углом 20° и катетом $$x = \frac{a-b}{2}$$ (если $$b>a$$) или $$x = \frac{b-a}{2}$$ (если $$a>b$$).

Рассмотрим случай, когда одно из оснований $$a$$, другое $$b$$. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 18 и 4. Один из них — средняя линия $$l = \frac{a+b}{2}$$, другой — отрезок, соединяющий середины диагоналей $$k = \frac{|a-b|}{2}$$.

Так как $$18 > 4$$, то $$l = 18$$ и $$k = 4$$.

• $$\\frac{a+b}{2} = 18 → a+b = 36$$
• $$\\frac{|a-b|}{2} = 4 → |a-b| = 8$$

Решая систему:

• $$a+b = 36$$
• $$a-b = 8$$

Складываем: $$2a = 44 → a = 22$$.

Вычитаем: $$2b = 28 → b = 14$$.

Основания трапеции равны 14 и 22.

Теперь учтем углы. Углы при одном из оснований равны 20° и 70°. Это означает, что трапеция не равнобедренная, так как углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Пусть $$b=22$$ (большее основание) и $$a=14$$ (меньшее основание).

Проведем высоты из концов меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника. Пусть $$h$$ — высота трапеции. Пусть $$x$$ и $$y$$ — отрезки на большем основании. Тогда $$a+x+y = b$$.

Углы при основании $$b$$ будут $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$. Углы при основании $$a$$ будут $$180° - \alpha_1$$ и $$180° - \alpha_2$$.

Если углы при основании $$b$$ равны 20° и 70°, то:

• $$\\tan(20°) = \frac{h}{x}$$
• $$\\tan(70°) = \frac{h}{y}$$

Отсюда $$x = \frac{h}{\\tan(20°)}$$ и $$y = \frac{h}{\\tan(70°)}$$.

$$b = a + x + y$$

$$22 = 14 + \frac{h}{\\tan(20°)} + \frac{h}{\\tan(70°)}$$

$$8 = h \left( \frac{1}{\\tan(20°)} + \frac{1}{\\tan(70°)} \right)$$

Так как $$\\tan(70°) = \cot(20°) = \frac{1}{\\tan(20°)}$$, то:

$$8 = h \left( \frac{1}{\\tan(20°)} + \\tan(20°) \right)$$

Это уравнение позволяет найти $$h$$, но оно не влияет на длины оснований, которые мы уже нашли.

Основания трапеции равны 14 и 22.

Запишем в порядке возрастания: 14;22.