25. В треугольнике ABC стороны AB и AC не равны, отрезок AM соединяет вершину A с произвольной точкой M стороны BC. Докажите, что треугольники AMB и AMC не равны друг другу.

Считаем, что M — внутренняя точка стороны BC, так что оба рассматриваемых треугольника невырожденные.

1. Предположим, что треугольники AMB и AMC равны. Тогда совпадают множества длин их сторон: \(\{AM,AB,BM\}=\{AM,AC,CM\}\).
2. Убирая из обоих множеств общую длину AM, получаем \(\{AB,BM\}=\{AC,CM\}\). Поскольку AB ≠ AC, равенство возможно только при AB = CM и BM = AC.
3. Точка M лежит между B и C, поэтому BC = BM + CM = AC + AB. Это противоречит неравенству треугольника в ABC: AB + AC > BC.

Предположение о равенстве треугольников приводит к противоречию.

Ответ: треугольники AMB и AMC не равны.