25^{x+7} = \(\frac{1}{5}\)

Привет! Давай решим это показательное уравнение вместе. Смотри, у нас есть число 25 и 1/5. Оба этих числа можно представить как степени числа 5.

1. Представим 25 как степень 5:
   

   \[ 25 = 5^2 \]

2. Представим 1/5 как степень 5:
   

   \[ \frac{1}{5} = 5^{-1} \]

3. Теперь подставим эти значения в наше уравнение:
   

   \[ (5^2)^{x+7} = 5^{-1} \]

4. По правилу степеней, при возведении степени в степень, показатели перемножаются:
   

   \[ 5^{2(x+7)} = 5^{-1} \]

   
   

   Раскроем скобки в показателе:

   
   

   \[ 5^{2x+14} = 5^{-1} \]

5. Когда основания степеней равны, то и показатели степеней равны:
   

   \[ 2x+14 = -1 \]

6. Теперь решим это линейное уравнение:
   

   \[ 2x = -1 - 14 \]
   

   \[ 2x = -15 \]
   

   \[ x = \frac{-15}{2} \]
   

   \[ x = -7.5 \]

Ответ: x = -7.5