26. 1) Зная, что sin t = 3/5, 0 < t < π/2, вычислите: а) sin(π/3 + t); б) sin(π/2 + t); в) cos(π/2 + t); г) cos(π/3 + t). 2) Зная, что cos t = −5/13, π/2 < t < π, вычислите: а) sin(t + π/6); б) sin(t + 3π/2); в) cos(t + π/6); г) cos(t + 3π/2). 3) Зная, что cos α = 15/17, cos β = 4/5, 0 < α < π/2, 0 < β < π/2, найдите значение выражения: а) sin(α + β); б) cos(α + β). 4) Зная, что sin α = 4/5, cos β = −15/17, π/2 < α < π, π/2 < β < π, найдите значение выражения: cos(α + β).

Question

Вопрос:

Фото задания

26. 1) Зная, что sin t = 3/5, 0 < t < π/2, вычислите: а) sin(π/3 + t); б) sin(π/2 + t); в) cos(π/2 + t); г) cos(π/3 + t). 2) Зная, что cos t = −5/13, π/2 < t < π, вычислите: а) sin(t + π/6); б) sin(t + 3π/2); в) cos(t + π/6); г) cos(t + 3π/2). 3) Зная, что cos α = 15/17, cos β = 4/5, 0 < α < π/2, 0 < β < π/2, найдите значение выражения: а) sin(α + β); б) cos(α + β). 4) Зная, что sin α = 4/5, cos β = −15/17, π/2 < α < π, π/2 < β < π, найдите значение выражения: cos(α + β).

Accepted Answer

1) Так как \(t\) находится в I четверти, \(\cos t=\sqrt{1-\sin^2t}=\frac45\).

\(\sin\left(\frac\pi3+t\right)=\sin\frac\pi3\cos t+\cos\frac\pi3\sin t=\frac{4\sqrt3+3}{10}\).
\(\sin\left(\frac\pi2+t\right)=\cos t=\frac45\).
\(\cos\left(\frac\pi2+t\right)=-\sin t=-\frac35\).
\(\cos\left(\frac\pi3+t\right)=\cos\frac\pi3\cos t-\sin\frac\pi3\sin t=\frac{4-3\sqrt3}{10}\).

2) Так как \(t\) находится во II четверти, \(\sin t=\sqrt{1-\cos^2t}=\frac{12}{13}\).

\(\sin\left(t+\frac\pi6\right)=\sin t\cos\frac\pi6+\cos t\sin\frac\pi6=\frac{12\sqrt3-5}{26}\).
\(\sin\left(t+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos t=\frac5{13}\).
\(\cos\left(t+\frac\pi6\right)=\cos t\cos\frac\pi6-\sin t\sin\frac\pi6=-\frac{5\sqrt3+12}{26}\).
\(\cos\left(t+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin t=\frac{12}{13}\).

3) Из условий и принадлежности углов I четверти: \(\sin\alpha=\frac8{17}\), \(\sin\beta=\frac35\).

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{32+45}{85}=\frac{77}{85}\).
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{60-24}{85}=\frac{36}{85}\).

4) Во II четверти \(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac35\), а \(\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\frac8{17}\). Тогда

\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{45}{85}-\frac{32}{85}=\frac{13}{85}\).

Ответ: 1) а) \(\frac{4\sqrt3+3}{10}\); б) \(\frac45\); в) \(-\frac35\); г) \(\frac{4-3\sqrt3}{10}\). 2) а) \(\frac{12\sqrt3-5}{26}\); б) \(\frac5{13}\); в) \(-\frac{5\sqrt3+12}{26}\); г) \(\frac{12}{13}\). 3) а) \(\frac{77}{85}\); б) \(\frac{36}{85}\). 4) \(\frac{13}{85}\).