26.3. 1) В ромбе ABCD, где угол A острый, BE и BF — высоты. Угол между диагональю BD и высотой BF равен 40°. а) Докажите, что BE = BF. б) Найдите углы ромба.

а) Доказательство.

Высоты BE и BF проведены к сторонам AD и CD соответственно. Площадь ромба можно выразить двумя способами:

\(S=AD\cdot BE\) и \(S=CD\cdot BF\).

В ромбе все стороны равны, поэтому \(AD=CD\). Следовательно, \(AD\cdot BE=AD\cdot BF\), откуда \(BE=BF\).

б) Нахождение углов.

Рассмотрим треугольник BCD. Так как \(BC=CD\), он равнобедренный. Его углы при основании равны:

\(\angle CBD=\angle BDC=\dfrac{180^\circ-\angle C}{2}=90^\circ-\dfrac{\angle C}{2}\).

Поскольку \(BF\perp CD\), угол между диагональю \(BD\) и высотой \(BF\) дополняет угол \(BDC\) до \(90^\circ\):

\(90^\circ-\angle BDC=40^\circ\).

Значит,

\(90^\circ-\left(90^\circ-\dfrac{\angle C}{2}\right)=40^\circ\),

\(\dfrac{\angle C}{2}=40^\circ\), поэтому \(\angle C=80^\circ\).

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\):

\(\angle A=\angle C=80^\circ\),

\(\angle B=\angle D=180^\circ-80^\circ=100^\circ\).

Ответ: \(BE=BF\); \(\angle A=\angle C=80^\circ\), \(\angle B=\angle D=100^\circ\).