26.3. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА: A) \( \log_2 (x-1) < 1 \) Б) \( 2^{-2x} > \frac{1}{4} \) B) \( \frac{x-1}{(x-3)^2} > 0 \) Г) \( (x-1)(x-3) > 0 \) РЕШЕНИЯ: 1) \( x < 1 \) 2) \( 1 < x < 3 \) или \( x > 3 \) 3) \( 1 < x < 3 \) 4) \( x < 1 \) или \( x > 3 \)

Привет! Давай решим эти неравенства.

26.3. Решение неравенств

А) \( \log_2 (x-1) < 1 \)

Сначала учтем область допустимых значений: \( x-1 > 0 \) => \( x > 1 \).

Теперь решим неравенство. Так как основание логарифма (2) больше 1:

\( x-1 < 2^1 \)
\( x-1 < 2 \)
\( x < 3 \)

Объединяем с ОДЗ: \( x > 1 \) и \( x < 3 \). Получаем \( 1 < x < 3 \).

Соответствует решению 3.

Б) \( 2^{-2x} > \frac{1}{4} \)

Запишем \( \frac{1}{4} \) как степень двойки: \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \).

\( 2^{-2x} > 2^{-2} \)

Так как основание степени (2) больше 1, сравниваем показатели:

\( -2x > -2 \)
\( x < 1 \) (Меняем знак при делении на отрицательное).

Соответствует решению 1.

В) \( \frac{x-1}{(x-3)^2} > 0 \)

Знаменатель \( (x-3)^2 \) всегда больше нуля, кроме \( x=3 \) (где он равен нулю, и дробь не определена).

Значит, чтобы дробь была больше нуля, числитель должен быть больше нуля: \( x-1 > 0 \) => \( x > 1 \).

Исключаем \( x=3 \).

Получаем \( x > 1 \) и \( x \neq 3 \).

Это можно записать как \( 1 < x < 3 \) или \( x > 3 \).

Соответствует решению 2.

Г) \( (x-1)(x-3) > 0 \)

Это квадратное неравенство. Корни: \( x=1 \) и \( x=3 \). Парабола ветвями вверх.

Неравенство больше нуля, когда \( x < 1 \) или \( x > 3 \).

Соответствует решению 4.

Итог:

А - 3, Б - 1, В - 2, Г - 4.

Ответ: А3, Б1, В2, Г4